17.20. Кинетическая энергия жидкости.

Используя граничные условия (2) и (3) п. 17.10, для кинетической энергии жидкости получим следующее выражение:

причем интеграл здесь берется по поверхности тела.

Это выражение показывает, что является однородной квадратичной функцией векторов и, Поэтому если А — некоторый скаляр, то при замене на величина заменяется просто величиной А. Тогда по теореме Эйлера для однородных функций имеем

Снова, воспользовавшись уравнениями (2) и (3) п. 17.10, получим

и, следовательно,

Но поскольку составляющие вектора удовлетворяют уравнению Лапласа, то по теореме Грина [см. (2) п. 2.62] получаем

причем здесь использовано условие (4) п. 17.10. Таким образом, мы получим первую из нижеследующих формул:

Вторая из формул (3) получается аналогичным способом.

Если бы движение возникло под действием импульсов (см. п. 17.31), то тогда интегралы в правой части формул (3) представляли бы собой импульс и импульсивный момент, которые действуют со стороны тела на жидкость, примыкающую к поверхности тела.

Если воспользоваться координатной формой записи, например декартовыми координатами, то приведенное выше выражение (1) для кинетической энергии будет, как в этом можно убедиться, включать 21 член, содержащий квадратичные комбинации пар из шести составляющих векторов

Если в формулах (3) взять вместо то в этих формулах появится сомножитель А. Таким образом, частные производные от кинетической энергии являются однородными линейными функциями векторов

В декартовых координатах имеем

отсюда, согласно п. 2.71, получим