14.42. Волны на поверхности раздела.

Рассмотрим жидкость, плотности и глубины текущую с постоянной скоростью V, по слою жидкости плотности в и глубины текущей с постоянной скоростью V, причем жидкости сверху и снизу ограничены твердыми горизонтальными плоскостями.

Рис. 271.

Поместим ось х вдоль (геометрической) поверхности раздела, которая отделяет жидкости и составляет вихревой слой. Для исследования того факта, что волны малого возвышения могут распространяться по поверхности раздела со скоростью придадим всей массе жидкости скорость с, противоположную направлению распространения; таким образом, профиль волны станет неподвижным, а скорости потоков относительно профиля будут равны и (рис. 271). Из п. 14.40 следует, что комплексный потенциал для нижнего слоя жидкости имеет вид

тогда линией тока является синусоида

Отсюда сразу получим выражение потенциала для верхнего слоя жидкости, написав вместо в результате получим

Пренебрегая величиной для скорости в нижнем слое, получаем формулу

следовательно, на поверхности раздела скорость выражается в виде

а для верхнего слоя жидкости скорость на той же поверхности равна

Теперь на поверхности раздела уравнение давления для обеих жидкостей записывается в виде

Но давление должно быть непрерывно и, следовательно, После почленного вычитания уравнений (3) и (4) получим

Подставив сюда значения мы должны будем потребовать, чтобы коэффициент при в полученном выражении обращался в нуль, следовательно, находим уравнение

Это уравнение определяет скорость распространения волн. Сделаем следующие замечания:

(I) Если то уравнение сводится к формуле (3) п. 14.13.

(II) Если обе жидкости имеют бесконечную глубину, то уравнение упрощается и принимает вид

(III) Условие устойчивости свидетельствует о том, что волны рассматриваемого типа могут распространяться, т. е. величина с будет действительной.

(IV) В общем случае уравнению удовлетворяют два значения величины с.

(V) Если то волна стоячая.

(VI) Если обе жидкости покоятся, за исключением волнового движения, то если при этом глубина каждой жидкости бесконечна, то

Отсюда следует, что должно быть выполнено условие более тяжелая жидкость должна располагаться внизу (см. п. 14.54). В частности, предположим, что верхняя жидкость представляет собой воздух бесконечной глубины с удельным весом Тогда, полагая получаем приближенно

так как величина мала. Сравнивая это выражение с формулой (3) п. 14.13, мы видим, что наличие атмосферы стремится уменьшить скорость волны.

Этот результат имеет общее применение, как видно из свойства Это свойство, с другой стороны, показывает, что если почти равны то период колебаний общей поверхности будет больше, чем периоды колебания свободной поверхности жидкости.