14.64. Изменение профиля в длинных волнах.

Случай длинной волны, распространяющейся в одном направлении без изменения профиля, может быть сведен к установившемуся движению путем наложения на всю систему скорости, равной по величине, но противоположной по направлению скорости распространения волны с (рис. 278).

Рис. 278.

Тогда форма волны остается неизменной в пространстве и жидкость течет под ней с местной скоростью где направленная вперед малая скорость в прогрессивной волне с возвышением Тогда уравнение неразрывности принимает вид

откуда приближенно этот результат был получен уже ранее.

По указанной ранее причине (см. п. 14.60) вертикальная скорость мала по сравнению с величиной и, и, следовательно, квадрат ее есть величина четвертого порядка малости, если — величина первого порядка малости; поэтому уравнение для давления на свободной поверхности примет вид

Исключая и с помощью уравнения неразрывности и пренебрегая кубом величины получаем соотношение

Условие существования установившегося движения состоит в том, что на свободной поверхности Таким образом, если величиной нельзя

пренебречь, то свободная поверхность при не может существовать. Следовательно, длинная волна конечной высоты не может распространяться без изменения профиля.

Очевидно также, что если величиной нельзя пренебречь, то условию можно приближенно удовлетворить, используя несколько большее значение скорости с, если величина положительна, и несколько меньшее значение, если величина отрицательна. Таким образом, возвышение стремится распространиться скорее, нежели понижение; волна стремится стать более крутой перед гребнем, и наблюдение показывает, что волна становится все более крутой и в конце концов разрушается.