3.32. Истечение из отверстия.

Возвращаясь к вопросу, рассмотренному в п. 1.82, исследуем установившийся безвихревой поток жидкости, вытекающей через отверстие площади в стенке сосуда (рис. 52).

Рассмотрим плоское горизонтальное сечение сосуда, настолько удаленное от отверстия, что скорости течения во всех точках пересечения 2 с линиями тока можно считать одинаковыми и равными Пусть единичный вектор нормали, проведенной к поверхности 2 внутрь жидкости.

Обозначим через 1 единичный вектор внешней нормали к сечению в самом сжатом месте струи, где скорость равна Пусть обозначает поверхность стенки сосуда ниже сечения поверхность струи между сечениями

Рис. 52.

Рассмотрим жидкость, ограниченную полной поверхностью пусть будет единичным вектором внутренней нормали в какой-либо точке этой поверхности.

Так как и так как течение безвихревое, то применение теоремы Гаусса [формула (7) п. 2.61] дает соотношение

при получении которого использовались формулы (IV) п. 2.34 и (3) п. 2.61.

Теперь скалярная величина принимает на поверхностях следующие значения: соответственно, а векторная величина принимает значения на поверхностях Кроме того, по теореме Бернулли скорость на поверхности равна Следовательно, имеет место равенство

Так как поверхность замкнута, то, согласно формуле (3) п. 2.20, получим соотношение

Следовательно,

Умножим это уравнение скалярно на и исключим с помощью уравнения неразрывности в форме Тогда если коэффициент сжатия, то мы получаем равенство

Если плоскость отверстия вертикальна, то и знаменатель дроби в правой части равенства равен 2. Этот результат имеет место также и в том случае, когда величина пренебрежимо мала.

В случае истечения из отверстия в бесконечной пластинке имеем

С другой стороны, если вертикальный цилиндрический насадок, обращенный внутрь, прикреплен к отверстию в горизонтальном дне сосуда с вертикальными стенками, то на сторонах сосуда и опыт показывает, что почти равно нулю на дне. Таким образом,

и если величина пренебрежимо мала, то