замкнутой кривой называется замкнутая кривая, которая делится любой парой точек на две простые дуги.
Пусть задана простая замкнутая кривая (или контур) С в плоскости 
и функция 
(рис. 84). Говорят, что функция 
является аналитической внутри контура С, если она удовлетворяет следующим условиям.
Рис. 84.
а) Каждому значению 
внутри С соответствует одно и только одно значение 
и это значение конечно (т. е. модуль этой функции не бесконечен). Короче, 
конечная и однозначная функция внутри С.
б) Для каждого значения 
внутри С функция имеет однозначную конечную производную по 
Исследуем условие б).
Так как 
то любая функция от и у является функцией от 
Например, если 
и 
— заданные функции, то
С другой стороны,
Следовательно,
Но выражение
является неопределенным, так как 
могут стремиться к нулю независимо друг от друга.
Следовательно, определенная производная может существовать только в том случае, если 
Таким образом, аналитическая функция комплексного переменного 
не должна зависеть от 
т. е. 
Предположим теперь, что 
и что 
так как
и
то мы имеем
Отсюда
и 
какие-либо функции от и у. Тогда комбинация 
является функцией комплексного переменного 
в том смысле, что данному 
(т. е. 
соответствует одно или более значений 
понятие является слишком общим для его применения. Поэтому мы ограничимся рассмотрением класса аналитических функций, которые мы ниже определим.
вместе с условием (2) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы функция 
была аналитической функцией.
. В последнем случае надо исключить точки, в которых 
. С другой стороны, 
не является аналитической функцией 
так как 
следовательно, содержит 
