2.50. Теорема Стокса.

Пусть поверхность, ограниченная кривой единичный вектор нормали к элементу площади направленный в ту сторону, которая связана с направлением циркуляции вокруг и вдоль С правилом «правого винта» (рис. 37). Тогда имеет место равенство

которое выражает существо теоремы Стокса.

Доказательство. Если мы соединим точки кривой С семейством линий, лежащих на поверхности так, чтобы образовать сетку, то мы увидим, что каждая ячейка сетки, за исключением тех, которые принадлежат кривой С, имеет линии, общие с соседними ячейками. Так как линии, которые принадлежат двум соседним ячейкам, проходятся дважды в противоположных направлениях, то, следовательно, циркуляция вдоль кривой С равна сумме циркуляцнй по всем ячейкам.

Таким образом, достаточно доказать теорему для одной бесконечно малой ячейки сетки, покрывающей поверхность

Так как любая ячейка может быть разделена на треугольники, то достаточно доказать теорему для одной треугольной ячейки стороны которой имеют бесконечно малую длину.

Рис. 37.

Рис. 38.

Пусть середины этих сторон (рис. 38) и пусть центр тяжести треугольника; тогда можем записать

Обозначим через значение в произвольной точке Тогда из определения интеграла следует приближенное равенство

Далее, из равенства (5) п. 2.31 следуют соотношения

Вычитая одно из другого, получим равенство

Аналогично

Следовательно,

Далее, где - площадь треугольника и поэтому с той же степенью точности можем записать равенство

Сравнивая последнее равенство с равенством (3), легко установить спра ведливость теоремы Стокса для бесконечно малого треугольника и, следовательно, для произвольной поверхности, которая может рассматриваться как предел суммы бесконечно малых треугольников. Граничная кривая

этой поверхности может рассматриваться как предел границы вписанных многоугольников.

Теорема Стокса, сформулированная выше, является частным случаем более общей теоремы, которую можно сформулировать следующим образом, если использовать понятие направленной площади:

где X — произвольная скалярная или векторная функция координат, направленный элемент дуги кривой С (рис. 39).

Рис. 39.

Доказательство. Как и в предыдущем случае, достаточно доказать эту теорему для отдельной ячейки сетки. Точно таким же образом, как и при доказательстве предыдущей теоремы, можно получить соотношение

а так как величина представляет собой направленную площадь треугольной ячейки, то утверждение теоремы доказано для одной ячейки сетки и, следовательно, для общего случая.

В еще более общей форме теорему можно записать следующим образом:

Доказательство теоремы в этой формулировке проводится точно так же, как и вышеприведенные доказательства. Необходимо отметить, что первые символы с каждой стороны равенства (4) мы можем заменить той же самой операцией, повторенной раз.