6.50. Коаксиальные координаты.

Возьмем точки с координатами соответственно и . Выберем ось х за начало отсчета углов, а точки в качестве полюсов. Тогда координатами произвольной точки будут соответственно Числа называются биполярными координатами точки (рис. 116).

Рис. 116.

Если точка описывает некоторую окружность, проходящую через точки то остается постоянным. Такие окружности образуют коаксиальное семейство. Семейство окружностей, ортогональное к указанному, имеет точки предельными точками. Когда точка описывает некоторую окружность этого семейства, величина остается постоянной.

Введем обозначения

тогда

таким образом,

Если положить то из последнего равенства следует

Положение точки определено, если мы знаем, в каком квадранте она находится, и известны постоянные на окружностях, проходящих через эту точку. Таким образом, мы можем назвать величины определяемые формулой (1), коаксиальными координатами аналогично тому, как мы ввели эллиптические координаты.

Из равенства (1) мы получим

так что

Рис. 117.

Это равенство аналогично выражению, определяющему эллиптические координаты.

Кривая является окружностью с центром в точке и радиусом, равным с Кривая является окружностью с центром в точке и радиусом, равным Так как то мы находим

Но так как имеет место равенство

то мы заключаем, что

На действительной оси за исключением точек, расположенных между для которых

Заметим, что когда Кроме того, если на дуге окружности, проходящей через точки для которой то на дуге той же самой окружности, для которой (рис. 117).

Если точка уходит в бесконечность, то прямые и стремятся стать параллельными, причем Таким образом, а или соответственно для

В заключение заметим, что в точках величина обращается в бесконечность.