19.75. Приближенное решение Озеена для достаточно больших расстояний от тела.

Замкнутая поверхность , показанная на рис. 337, произвольна. Будем полагать, что эта поверхность представляет собой сферу достаточно большого радиуса, такого, что можно записать

где возмущения первого порядка малости относительно равномерных невозмущенных значений скорости V и давления . В этом случае уравнение движения можно брать в форме Озеена (см. п. 19.62):

Для удобства введем параметр к, определяемый равенством

Тогда уравнения движения и неразрывности примут вид

Из уравнений (3) следует, что т. е. представляет собой гармоническую функцию. Если положить

то получим следующее частное решение уравнений (3):

Полное же решение будет иметь такой вид:

где удовлетворяет уравнениям

Исследуем подробно решение (5). На сфере очень большого радиуса это решение должно обращаться в нуль. Поэтому следует предполагать, что соответствующий потенциал скоростей, выраженный в сферических координатах будет представлять собой сумму гармонических функций вида ; главный член здесь будет иметь вид

Подставляя это выражение в уравнение (2) из п. 16.10, получим уравнение, которому должна удовлетворять функция

Чтобы решить это уравнение, положим

тогда

откуда

Второй член здесь стремится к бесконечности при (т. е. на луче, направленном вверх по потоку). Так как мы рассматриваем ограниченные решения, то надо положить

С другой стороны, первый член в этом выражении стремится к бесконечности при (т. е. в вихревом следе). На первый взгляд кажется, что в этом случае также надо потребовать, чтобы Но, как это будет видно из последующих вычислений (см. стр. 560), при подъемная сила равняется нулю.

Исследуем случай . В этом случае частное решение для потенциала будет равно

Скорость которую отсюда можно определить, становится бесконечной при Чтобы устранить эту особенность, положим где выбрано так, что оно удовлетворяет уравнениям

Потенциал определяется так, чтобы

Нетрудно проверить, что это уравнение имеет частное решение

а комбинация

не обращается в бесконечность при потому что член , который вызвал эту особенность, уничтожается. Однако функция определенная из уравнения (9), не удовлетворяет уравнению неразрывности, так как

Поэтому к решению надо будет прибавить еще одну скорость которая удовлетворяет уравнениям

так что Предполагая, что решение имеет вид

найдем, что

Сравнивая последнее выражение с величиной которая следует из решения (10), получаем и соответствующая скорость равна

Заметим, что скорость перпендикулярна скорости V, так что Полное решение, построенное указанным способом, имеет вид

Здесь безвихревое решение, связанное с давлением [уравнение (4)] и содержащее особый член который вычисляется через [уравнение (8)] и обращается в бесконечность при частное решение, в котором определяется формулой (10) и которое построено так, что особенности в вихревом следе при взаимно уничтожаются; - еще одно частное решение, которое построено так, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности -произвольное

решение, которое удовлетворяет уравнению Озеена (7) и уравнению неразрывности.

Скорость которая выражается формулой (13), является конечной и непрерывной на всей поверхности сферы .

Наличие экспоненциального множителя в показывает, что этой: скоростью можно пренебрегать, если только величина не является малой, что имеет место в вихревом следе, который на больших расстояниях более или менее четко ограничен поверхностью параболоида где — малая постоянная величина. Вихрь появляется только за счет членов поскольку Ниже будет показано, что величина не оказывает влияния на силы, действующие на крыло; таким образом, действие вихря по существу связано только с вихревым следом.

Следует подчеркнуть, что в описанном выше приближенном методе рассматривалось только решение на сфере достаточно большого радиуса; что же касается течения в окрестности крыла, то здесь этот метод ничего не может дать.