2. Тензор скоростей деформаций. Теорема Гельмгольца

1) Рассмотрим изменение поля скоростей жидких частиц при переходе от точки к близкой точке Обозначим через скорость жидкой частицы, которая в данный момент находится в точке (радиус-вектор которой обозначим через Обозначим через скорость жидкой частицы, находящейся в точке радиус-вектор которой обозначим через тогда

Три скалярные равенства объединим следующим векторным равенством:

где

Равенство не зависит от выбора системы координат и в любой системе координат вектору ставит в соответствие вектор Следовательно, на основании теоремы о характеристическом свойстве тензора, матрица определенная равенством , является афинным тензором второго ранга. Этот тензор называется производной вектора по вектору.

2) Всякий тензор может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Положим

где симметричный тензор,

а антисимметричный тензор,

Тензор называется тензором скоростей деформаций.

Умножение вектора слева на антисимметричный тензор эквивалентно умножению вектора слева на некоторый вектор. Легко проверить, что

В нашем случае, как легко убедиться,

Отсюда, в частности, следует утверждение: для того чтобы течение было потенциальным, необходимой достаточно, чтобы тензор был симметричным. Итак, мы приходим к следующему равенству:

Равенство (11) имеет глубокий физический смысл. Оно показывает, что поле скоростей в окрестности дайной частицы может быть разбито на три слагаемых. Первое слагаемое — это скорость, которую имела бы жидкая частица, если бы она двигалась поступательно. Второе слагаемое — это скорость вращательного движения частицы вокруг точки с угловой скоростью Эти два слагаемых вектора определяют скорость движения точки, принадлежащей частице, если бы частица жидкости была абсолютно твердой; сумма этих двух слагаемых называется скоростью квазитвердого движения. Третье слагаемое — это скорость так называемого деформационного движения, существование которого качественно отличает поле скоростей движения газа (или жидкости) от движения твердого тела.

Установленный результат носит название теоремы Гельмгольца. Окончательную формулировку этой теоремы мы примем в следующем виде: Всякое движение жидкости или газа в окрестности любой тонки можно разложить на квазитвердое движение и движение, вызванное деформацией.