16.51. Эллипсоидальные гармонические функции.

Пользуясь обозначениями п. 16.50, можно записать уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах в форме

Пусть а — некоторая функция, удовлетворяющая этому уравнению. Будем искать решения в таком виде:

где X — функция, зависящая только от k. Тогда сразу же получим равенства

Подставляя эти равенства в уравнение (1) и учитывая, что а — решение уравнения (1), получаем Последнее равенство можно записать в следующей форме:

Поскольку с левой стороны здесь стоит функция, зависящая только от К, то правая часть не должна зависеть от следовательно, предложенная выше форма решения возможна лишь тогда, когда величина а удовлетворяет полученному условию. Это означает, что величина а должна иметь вид

где не зависит от не зависит от К. В этом случае равенство (3) примет вид

что после интегрирования дает

где произвольные постоянные.

Итак, если а — эллипсоидальная гармоническая функция, имеющая указанные выше свойства, то эллипсоидальными гармоническими функциями будут также и функции

причем вторая функция получается, если положить поскольку является, очевидно, решением уравнения (1).

Уравнение (1) представляет собой обычное уравнение Лапласа записанное в специальной системе координат, поэтому функции и любая сферическая гармоническая функция являются фактически решениями уравнения (1).

Функции х, у, z выражаются формулами (4) п. 16.50, и, следовательно, можно принять

что соответствует функции х, и

что соответствует функции оба эти выражения удовлетворяют условию (4).

Таким образом, в соответствии с первой функцией (5) можно получить следующие эллипсоидальные гармонические функции:

где С — произвольная постоянная, а функции х, у, z выражаются через по формулам (4) п. 16.50. Пределы интегрирования здесь выбраны так, чтобы при интегралы обращались в нуль. В приложениях мы будем иметь дело только с этими функциями.

Функции типа (6) встречаются в операторах и где