2.60. Теорема Гаусса.

Рассмотрим замкнутую поверхность ограничивающую объем Пусть X — скалярная или векторная функция, зависящая от координат точки в пространстве. Тогда, если обозначить элемент объема V через а элемент поверхности через то можно записать следующее равенство, которое выражает теорему Гаусса:

где единичный вектор внутренней нормали к элементу поверхности

Доказательство. Разобьем объем V на элементарные объемы тремя семействами параллельных плоскостей. Если — один из таких элементарных объемов, то мы можем записать приближенное равенство [см. формулу (1) п. 2.24]

Этот интеграл берется по поверхности объема Просуммировав последнее равенство по всем элементарным объемам, получим соотношение

Далее, в произвольной точке общей границы двух соседних элементов внутренние нормали к каждому элементу имеют противоположные знаки. Следовательно, поверхностные интегралы по границам, разделяющим соседние элементы объема, взаимно уничтожаются и остается только интеграл по поверхности что и требовалось доказать.

Заметим, что в последней теореме знак минус появился вследствие того, что мы использовали внутреннюю нормаль к элементам замкнутой поверхности (рис. 41). Таким образом, в приложениях этой теоремы к гидродинамике мы будем применять нормаль, направленную внутрь жидкости, если будет граничной поверхностью.

Следует упомянуть, что строгое доказательство теорем Стокса и Гаусса и различных следствий, выводимых из этих теорем, основывается на некоторых предположениях о существовании и непрерывности частных производных, которые появляются при формулировке теоремы.

Разрывность параметров движения жидкости проявляется физически, если движение жидкости разрывное, и поэтому мы не будем рассматривать условия, при которых справедливы сформулированные теоремы, так как это увело бы нас слишком далеко от главной темы.

Рис. 41.

Если область, ограниченная поверхностью является -связной областью (см. п. 3.70), мы превратим ее в односвязную, проведя перегородок и будем рассматривать каждую сторону перегородки как отдельную границу. Таким образом, в случае двусвязной области мы получим единственную перегородку В, стороны которой обозначим В (положительная сторона) и В (отрицательная сторона). Тогда из теоремы Гаусса, примененной к полученной таким образом односвязной области, следует равенство

Для любой точки В поверхности справедливо равенство Введем обозначение скачка функции X при пересечении перегородки В с отрицательной стороны на положительную следующим образом:

Тогда теорема Гаусса для рассматриваемой двусвязной области запишется в виде

Если то мы просто добавим в правой части последней формулы члены для других перегородок.