2.73. Скорость изменения единичных векторов.
В ортогональных криволинейных координатах (п. 2.72) мы можем вычислить производные 
следующим образом. Согласно теореме Дюпена, линии
пересечения трижды ортогональной системы поверхностей представляют собой линии кривизны. Следовательно, кривые, вдоль которых изменяются или координата 
или координата 
являются линиями кривизны поверхности 
Тогда нормали к поверхности в смежных точках линии кривизны пересекаются. Следовательно, когда мы движемся вдоль отрезка 
(см. рис. 45), нормаль 
пересекает нормаль 
Отсюда следует, что вектор 
перпендикулярен векторам 
параллелен вектору 
Следовательно, вектор 
параллелен вектору 
Аналогично можно показать, что 
параллелен вектору 
и получить еще четыре подобных результата.
Пусть 
Отсюда
Следовательно, 
Но вектор 
параллелен 
а вектор 
параллелен 
Следовательно,
Кроме того, из равенства 
мы получаем соотношение
Из формул (1) и (2) мы можем получить производные 
для всех значений 
Эти результаты вместе с оператором
дают возможность весьма экономно вычислить любую 
-операцию.
ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 2
(см. скан)
