8.50. Источники при конформном преобразовании.

Если отобразить плоскость на плоскость с помощью конформного преобразования

то источник в плоскости преобразуется в источник в соответствующей точке плоскости

Доказательство. Пусть имеется источник мощности в точке с координатой в плоскости и пусть точка с координатой в плоскости I соответствует точке Проведем малую окружность с центром в точке и пусть у — кривая в плоскости соответствующая этой окружности. Эта кривая у должна окружать точку

Поскольку функция тока имеет одинаковое значение в соответствующих точках обеих плоскостей, то

Мы можем брать окружность с сколь угодно малой, и кривая у также будет уменьшаться, интеграл от вдоль кривой у будет оставаться постоянным и, следовательно, в точке имеется источник. Если кривая у охватывает точку только один раз (обычный случай), то источники в обеих плоскостях будут одинаковой мощности.

Если кривая у охватывает раз точку когда окружность с охватывает точку один раз, то источник в точке имеет мощность

Для примера предположим, что и что в точке имеется источник мощности Так как

то, когда величина увеличивается на величина увеличивается на следовательно, кривая у будет охватывать точку три раза. Таким образом, в точке имеется источник мощности . С другой стороны, если то кривая у охватывает точку один раз, когда окружность с охватывает точку три раза; поэтому в точке имеется источник мощности