14.85. Точная линейная теория.
Этот термин мы применяем к теории волн малого наклона, получаемой по точному методу п. 14.84. Если 
малая величина первого порядка, то мы имеем 
следовательно,
— также малая величина первого порядка.
Таким образом, с точностью до величины первого порядка малости имеем
Поэтому нелинейное интегральное уравнение (21) п. 14.84 сводится к однородному линейному интегральному уравнению
Если в этом случае положить 
то получим
и, следовательно, 
является решением тогда и только тогда, когда 
Таким образом, уравнение (1) имеет собственные значения
и соответствующими собственными функциями будут
Ввиду того что полный круг у на рис. 285 соответствует одной волне, мы должны положить 
[см. п. 14.84, замечание (VI)] и тогда
где 
малая величина первого порядка. Тогда из формулы (12) п. 14.84 мы найдем, что с точностью до величины первого порядка все величины 
обращаются в нули, за исключением 
следовательно, все величины а, обращаются в нули, за исключением 
Таким образом, из второго уравнения (6) п. 14.84 на свободной поверхности следует 
Если взять разность значений у при 
(в гребне) и 
(во впадине), то найдем, что высота волны выражается формулой 
и, следовательно,
Возвращаясь к формулам (6) п. 14.84, найдем параметрические уравнения для профиля волны
Это — трохоида, а не синусоидальная кривая, как в обычной линейной теории, рассмотренной ранее в этой главе (см. волна Герстнера, волна Джона).
Можно ввести амплитуду а, положив
Чтобы найти скорость распространения, положим в формуле (6) п. 14.84
Тогда получим
Сравнивая эту формулу с формулой 
полученной по обычной теории, мы видим, что они согласуются при малых значениях 
и замечаем, что скорость поверхностных волн на глубокой воде увеличивается с увеличением отношения амплитуды к длине волны.
Для вычисления кинетической энергии воспользуемся формулой (22) п. 14.84. Из формулы (4) п. 14.84 имеем
здесь площадь единичного круга равна 
. Следовательно, использование формул (3), (5), (6) дает
Эта величина 
отличается от величины, найденной в п. 14.20, на показательный множитель.
Для потенциальной энергии из формулы (4) мы имеем
Таким образом, при используемых здесь данных 
