20.33. Течение сжимаемого газа внутри сопла, которое сначала сужается, а затем расширяется.

Рассмотрим течение, которое описывается уравнениями (2) п. 20.32. Здесь удобно заменить величину А на тогда

Из уравнения Бернулли в форме (2) п. 20.31 находим

Тогда формула (2) п. 20.30 после некоторых преобразований примет вид

Следовательно, после интегрирования получим формулу

где а — произвольная постоянная величина, значения которой находятся в интервале от до 1. Выбор этой постоянной определяет только положение начала координат в физической плоскости.

Линии тока определяются путем исключения и из формулы (2) и первого из уравнений (1). Если положить

то из формулы (2) находим

Следовательно, после исключения получим

Таким образом, линии постоянной скорости представляют собой окружности, центры которых лежат на действительной оси, а радиусы равны Кроме того,

Следовательно, когда увеличивается от нуля, величина X постоянно возрастает, уменьшается до минимального значения при а затем снова возрастает.

Условие того, чтобы две соседние окружности из семейства (5), соответствующие значениям пересекались, состоит, как легко видеть, в следующем:

Это означает, как показывают равенства (6), что

Отсюда, если воспользоваться формулами (1) п. 20.31 и (3) п. 1.63, находим

Следовательно, в сверхзвуковой области соседние окружности постоянной скорости всегда пересекаются, а в дозвуковой области, напротив, никогда не пересекаются. Критический случай имеет место тогда, когда две соседние окружности касаются друг друга. Тогда огибающая семейства (5) разделяет плоскость на две области — одну, в которой соседние

окружности постоянной скорости пересекаются, и другую, в которой они не пересекаются.

Чтобы найти эту огибающую, продифференцируем уравнение (5) по Тогда с помощью равенства (4) получим

Применяя затем формулы (6), находим соотношение

Таким образом, огибающая семейства (5) определяется соотношением (7) и двумя уравнениями, получающимися из равенства (4).

Если в равенстве (4) рассматривать как функцию от 8, определяемую соотношением (7), то в особой точке огибающей должно быть что после простых преобразований дает равенство

Соответствующее значение получается из соотношения (7) в виде

откуда

Рис. 342.

В этой точке огибающей две соседние окружности касаются друг друга, и, следовательно, эта особая точка является точкой возврата. В силу симметрии имеются две такие точки возврата, расположенные симметрично относительно оси х. На рис. 342 огибающая изображена штрих-пунктирной линией.

Если в плоскости годографа взять в качестве полярных координат и 0, то огибающая будет представлять собой эллипс, определяемый соотношением (7), а линии тока можно найти с помощью первого из уравнений (1). Исключая из формул (1) и (7), получим для квадратное уравнение

Таким образом, каждому значению здесь соответствуют два значения поэтому в области, где соседние окружности постоянной скорости пересекаются, получается физически невозможный характер течения. Линия тока показанная на рис. 342, имеет на огибающей точку возврата. Значения определяемые уравнением (9), будут мнимыми при

Критический случай имеет место тогда, когда в условии (10) вместо знака неравенства стоит знак равенства, т. е. при

причем здесь для случая воздуха было принято Соответствующая линия тока в плоскости годографа представляется кривой

которая проходит через точки возврата огибающей, причем здесь определяется формулой (8),

Эта линия тока изображена на рис. 342 жирной линией. Она касается огибающей в точках возврата и проходит в область за этой огибающей. Область справа от этой линии тока является «запретной» областью, в которой течение физически невозможно. Чтобы получить сопло, можно взять в качестве его твердых стенок любые две линии тока, расположенные левее указанной критической линии тока.

Рис. 343.

Отметим также, что окружность постоянной скорости, на которой определяется значением Тогда течение в части сопла, соответствующей области внутри этой окружности (заштрихованная область на рис. 342), является сверхзвуковым. Таким образом, течение Ринглеба, помимо того, что описывающее его решение точно удовлетворяет уравнениям в плоскости годографа, представляет собой еще и пример течения сжимаемого газа, в котором переход от дозвукового режима к сверхзвуковому и обратно происходит без скачку.

Из формулы (12) следует также, что максимальное значение скорости, которое достигается на критической линии тока, имеет место при и равно

Следовательно, максимальное значение местного числа Маха, которое достигается в течении Ринглеба, равно

Аналогичное исследование можно провести и для решения (3) п. 20.32.

Оказывается, что здесь кривые постоянной скорости представляют собой трохоиды, которые имеют огибающую с двумя точками возврата. Критическая линия тока проходит через точки возврата и разделяет течение на две области, в одной из которых течение физически невозможно, а в другой, напротив, возможно (рис. 343). В этом случае течение из дозвукового переходит в сверхзвуковое и затем обратно без скачка. Максимальное число Маха для воздуха достигает здесь значения, примерно равного 2.

Сравнивая рисунки, приведенные в этом пункте, с рис. 341, видим, что в несжимаемом случае «запретная» область течения вырождается в прямую линию.