15.29. Теорема Бутлера для сферы.

Для теоремы о круге в п. 6.21 имеется аналогичная теорема, применимая к осесимметричным движениям. Пусть данная функция двух сферических координат и и пусть а — данная положительная константа. Определим функцию

Тогда можно высказать следующую теорему.

Сферическая теорема Бутлера. Пусть имеется осесимметричный безвихревой поток в несжимаемой невязкой жидкости, не имеющей твердых границ-, поток характеризуется функцией тока все особенности которой находятся на расстоянии, большем, чем а от начала координат, причем в начале координат Если в поток ввести твердую сферу радиуса то функция тока имеет вид

Доказательство. Требуется удовлетворить следующим условиям:

(I) поток, заданный посредством функции должен быть безвихревым;

(III) функция не имеет особенностей вне сферы скорость, соответствующая функции должна стремиться к нулю, когда стремится к бесконечности, и функция не должна определять поток через сферу в бесконечность.

Из п. 15.10 и формулы (4) п. 2.72 видно, что условие равенства нулю вихря, выраженное через функцию тока имеет вид

Непосредственным дифференцированием легко доказать, что если удовлетворяет уравнению (3), то имеет место равенство

В силу этого выполняется условие (I); условие (II) также удовлетворяется, так как при

Так как являются точками инверсии относительно сферы отсюда следует, что если одна точка находится внутри сферы, то другая находится вне сферы. Таким образом, если все особенности функции находятся вне сферы, то все особенности функции находятся внутри сферы. Следовательно, условие (III) удовлетворяется.

Что касается условия то необходимо отметить, что функция регулярна внутри сферы и вблизи начала координат Следовательно, в бесконечности имеем Тогда из п. 15.10 следует, что скорость в бесконечности, обусловленная функцией имеет порядок

т. е. стремится к нулю, когда стремится к бесконечности. Для величины потока мы имеем что также стремится к нулю при

Тот же метод доказательства показывает, что если все особенности функции находятся внутри сферы и если для больших то формула (2) дает поток внутри сферы, если сферу сделать твердой, границей. Здесь условие (IV) заменяется тем требованием, чтобы давало конечную скорость в начале координат. Доказательство предоставляем провести читателю в качестве упражнения.