18.60. Крыло конечного размаха.

Профиль Жуковского, изученный в гл. 7, представлял собой цилиндр бесконечной длины, у которого мы рассматривали просто одно сечение.

Рис. 331.

Применяемые же в действительности крылья имеют конечную длину, или размах, поэтому движение здесь нельзя считать плоским.

Рассмотрим крыло с размахом 26, симметричное относительно среднего сечения, перпендикулярного к размаху (рис. 331). На этом рисунке крыло считается неподвижным, а поток — набегающим на переднюю кромку, причем направление потока на бесконечности вверх по течению совпадает с направлением оси Ось у направлена вертикально вверх, а ось вдоль по размаху, начало координат находится в среднем сечении крыла. На рис. 332, который является чисто схематическим и показывает лишь основной принцип обтекания крыла, каждая линия тока, набегающая на переднюю кромку, разделяется на две линии тока: одна, проходит по верхней части крыла, а другая, проходит под крылом. Эти линии тока не обязательно направлены вдоль поперечных сечений крыла, и поэтому они сходят с крыла в разных точках задней кромки.

Геометрическое место линий будет представлять собой некоторую поверхность а геометрическое место линий будет представлять собой некоторую другую поверхность Будем предполагать, что непосредственно за задней кромкой крыла эти поверхности совпадают и образуют одну-единственную поверхность при переходе через которую касательная скорость претерпевает разрыв по направлению, но имеет одну и ту же величину. Поскольку в

уравнение для давления входит только квадрат величины скорости, то давление при этом будет непрерывным. Поверхность 2 представляет собой вихревой слой типа, описанного в п. 13.70, и эту поверхность можно рассматривать как состоящую из распределенных по ней вихрей. Так как в любой точке поверхности 2 скорости сверху и снизу равны, то вихревые линии будут делить пополам углы между направлениями этих скоростей.

Для простоты предположим, что все эти вихревые линии являются прямыми и параллельными оси . В качестве дальнейшего упрощения примем, что задняя кромка является прямой и что поверхность 2 начинается у этой кромки.

Рис. 332.

Эти предположения не являются столь ограничительными, как это может показаться с первого взгляда.

Для вычисления силы сопротивления удобнее считать, что крыло движется со скоростью а воздух, напротив, неподвижен. Рассмотрим две неподвижные бесконечные плоскости проведенные перпендикулярно к направлению движения, причем плоскость проведена на большом расстоянии от крыла вверх по потоку, а плоскость на большом расстоянии вниз по потоку (см. рис. 333, на котором плоскость не показана). Проведем вторую плоскость параллельную плоскости и расположенную за ней на расстоянии Тогда приращение в единицу времени энергии жидкости, заключенной в области между плоскостями будет вызвано перемещением в эту область той части вихревого слоя которая лежит между плоскостями потому что безвихревые участки течения впереди и позади крыла не будут влиять на это приращение из-за квазистационарного характера движения между плоскостями Следовательно, если потенциал скорости, сила сопротивления, то, приравнивая работу искомой силы в единицу времени и скорость приращения кинетической энергии, получаем

Преобразуя этот интеграл с помощью формулы Грина, будем иметь

где относится к верхней стороне к нижней стороне. Поскольку нормальная скорость непрерывна, то

Рассмотрим сечение крыла, расположенное на расстоянии х от начала координат пусть циркуляция вокруг этого сечения.

Рис. 333.

Когда мы переходим через вихревой слой 2 сверху вниз, потенциал скорости уменьшается на величину этой циркуляции. Следовательно, Таким образом, окончательно

Вычислим подъемную силу. По теореме Кутта — Жуковского для участка крыла между подъемная сила равна т. е.