12.40. Метод Леви-Чивита.

Изложим теперь общий метод построения течения, обтекающего препятствие. Предполагается, что течение установившееся, безвихревое, двумерное и что каверна образуется за препятствием. Существенной чертой данного метода является отображение области плоскости на внутренность единичного полукруга плоскости при котором свободные линии тока переходят в диаметр полукруга. Далее в методе используется функция которая уже была применена в теории струй (п. 11.11).

12.41. Отображение плоскости z.

Предположим, что препятствие расположено в бесконечном потоке, имеющем скорость в бесконечности (рис. 229).

Рис. 229.

Одна из линий тока идущая из бесконечности, подходит к препятствию по направлению его нормали (в критической точке О); здесь она разветвляется, следуя далее по препятствию вдоль дуг и затем покидает тело в точках

переходя в две свободные линии тока между которыми расположена каверна. Положим в точке так что разветвляющейся линии тока будет соответствовать значение Начало координат возьмем в точке О, ось х направим по потоку параллельно скорости потока в бесконечности. Область, занятую движущейся жидкостью, обозначим через

Для удобства здесь рассматривается диаграмма переменного вместо которая и изображена на плоскости Линии совпадают с положительной действительной осью; они, как и в других подобных случаях, изображены в виде двух слегка разделенных кривых. Область плоскости отобразим на верхнюю половину вспомогательной плоскости с помощью следующего преобразования, легко получаемого по теореме Шварца — Кристоффеля:

Точки, соответствующие точкам обозначены через Для этих точек имеем где значения потенциала скоростей в точка

Далее, верхнюю половину плоскости отобразим на верхнюю половину плоскости так что точке будет соответствовать значение а точке значение Как легко убедиться, необходимое преобразование имеет вид

где

Заметим, что точка соответствует значению

Отобразим теперь верхнюю половину плоскости на внутренность полукруга плоскости радиус которого равен единице, центром которого служит начало координат и диаметр которого направлен по оси х, как изображено на рис. 229.

Необходимое преобразование является преобразованием Жуковского

Для того чтобы убедиться в этом, на дуге полукруга положим тогда Следовательно, когда изменяется от до , точка описывает полуокружность, а величина изменяется от — 1 через значение до 1. Дуга полукруга соответствует отрезку действительной оси плоскости дуга соответствует линии а дуга линии

С другой стороны, когда изменяется от — 1 через до величина изменяется от 1 до со и затем от до —1. Таким образом, радиусы будут соответствовать линиям Так как при конформном отображении направления обхода не меняются, то верхняя полуплоскость перейдет во внутренность полукруга.

Исключая величины получаем следующую формулу:

которая дает конформное отображение области плоскости на внутренность полукруга. Кроме того, критическая точка О соответствует значению

12.42. Линии тока.

Для функции тока имеем

Кроме того,

Отсюда находим, что уравнение линии тока имеет вид

Рассмотрим подробнее это уравнение. Так как линия соответствует диаметру полукруга, а линия — его окружности, то составная линия является разветвляющейся линией тока; уравнение оставшейся кривой дает кубическую кривую

которая проходит через критическую точку и касается оси в начале координат. Мы рассматриваем только ту часть этой кривой, которая расположена внутри полукруга. Эта кривая изображена на рис. 230; вид линий был определен по методу п. 6.23.

12.43. Функция w(e).

Функция определяется уравнением

Рис. 230.

Таким образом, имеем

Следовательно, действительная часть функции со определяет угол между вектором скорости жидкости и осью х в плоскости а мнимая часть определяет величину скорости, так как

На свободных линиях тока поэтому

Таким образом, функция на линиях т. е. на действительной оси плоскости принимает действительные значения. Кроме того, в бесконечно удаленной точке плоскости и поэтому

Функция со Должна быть аналитической функцией во всех точках внутри полукруга, так как они соответствуют области плоскости где движение непрерывно. Кроме того, мы видели, что функция со принимает действительное значение на действительной оси плоскости Поэтому функцию можно продолжить (см. п. 5.53) на вторую половину единичного круга, давая этой функции значения в точках и,

следовательно, в симметричных точках значения не изменяются. Изменяется только знак у величины Функция как мы теперь покажем, определяет все свойства движения.

12.44. Фиксированные линии тока.

Рассмотрим линии тока , (см. рис. 229), совпадающие с границей обтекаемого тела. Они изображаются дугами в плоскости Теперь из определения функции и из выражения функции через мы получаем

Далее, на дуге мы имеем

Подставим это выражение в формулу (1) и проинтегрируем по от до некоторого значения на дуге учитывая, что точка О соответствует значению получаем в результате

Сравнение действительных и мнимых частей в этой формуле дает х

Полученные уравнения представляют собой параметрические уравнения омываемой стенки , если изменять от , и стенки если брать значения в промежутке от а до .

В частности, если в формуле (2) положить то получим значение соответствующее точке

Если через обозначить элемент дуги или то имеем

и поэтому

Здесь нижний предел соответствует дуге а нижний предел — дуге так как является отрицательным при изменении от до а, то и разность а будет того же знака.

Радиус кривизны омываемой стенки выражается формулой

12.45. Свободные линии тока.

Параметрические уравнения свободной линии тока получаются интегрированием уравнения (1) п. 12.44 по от до где — точка на дуге При этом надо учитывать, что в

величина принимает значение найденное в п. 12.44. Таким образом, получим

где действительная величина. Сравнение действительных и мнимых частей в этом уравнении дает искомый результат.

Комплексная скорость задается выражением

Давление. Воспользовавшись уравнением для давления и обозначив через давление в каверне, получим

Таким образом,

Эта формула выражает гидродинамическое давление.