9.40. Функция тока на границе.
Рассмотрим оси координат, связанные с цилиндром, который вращается и совершает поступательное движение.
Пусть 
компоненты скорости начала системы координат О, а 
— угловая скорость системы координат. Тогда компоненты скорости точки 
границы цилиндра равняются 
Проектируя скорость на направление внешней нормали к границе в точке 
мы получаем выражение
где 
- угол наклона касательной к оси х.
Далее, 
а нормальная скорость жидкости равна 
(рис. 168). Выписывая выражение для нормальной скорости, мы получаем
Интегрируя это равенство вдоль границы, находим
где В — произвольная постоянная. Таким образом, мы нашли значение функции тока на границе. Мы теперь видим, что с точностью до аддитивной постоянной функция тока 
является мнимой частью функции
Рис. 168.
Если мы обозначим 
соответственно через 
так что полная скорость будет равна 
и направлена под углом а к оси 
то мы получим равенство
Функция, сопряженная с функцией 
равна
Так как 
является мнимой частью равенства (2), то 
является мнимой частью равенства (3). Следовательно, вычитая из равенства (2) равенство (3), получаем выражение для функции тока на границе в виде
