13.13. Комбинированный вихрь Рэнкина.

Комбинированным вихрем называется вертикальный цилиндрический вихрь, существующий в жидкости, движущейся под действием силы тяжести. Давление на верхней поверхности жидкости равно атмосферному. Эта задача является трехмерной, но ее удобно рассмотреть здесь.

Выберем начало координат в точке пересечения оси вихря с плоскостью уровня жидкости на бесконечности (рис. 240). Ось направим

вертикально вниз. Очевидно, что кинематические условия на границе жидкости удовлетворяются системой скоростей, найденной в п. 13.10, а именно (мы будем писать вместо мы можем принять если если

Рис. 240.

И в том и в другом случае векторы скорости жидкости горизонтальны и перпендикулярны радиусу При движение безвихревое, так как имеется потенциал скорости Следовательно, уравнение для давления имеет вид

где потенциал гравитационного поля. Чтобы определить константу, положим Тогда получим где — давление на поверхности жидкости на бесконечности, следовательно,

Для определения давления внутри вихря мы имеем уравнения движения

Таким образом,

Чтобы определить постоянную С, мы должны положить при . Тогда мы получим

На свободной поверхности следовательно, из формул (1) и (2) находим

Эти формулы определяют форму свободной поверхности.

Кроме того, оказывается, что поверхности постоянного давления получаются путем переноса по вертикали свободной поверхности, которая соответствует значению

Чтобы получить глубину впадины в точке А относительно уровня жидкости на бесконечности, положим в формуле Тогда мы получим