14.22. Групповая скорость.

Местное возмущение поверхности спокойной воды создает волну, которую можно разложить на ряд простых гармонических компонент, каждая из которых имеет разную длину волны. Мы видели, что скорость распространения зависит от длины волны. Таким образом, волны различной длины постепенно разделяются на группы волн приблизительно одинаковой длины. В общем случае волн на воде групповая скорость меньше, чем скорость отдельных составляющих волн. В этом случае происходит следующее: передние волны выходят из группы, а новые волны сзади входят в группу. Энергия группы остается постоянной.

Для изучения свойств такой группы рассмотрим сначала частный случай возмущения, обусловленного наложением двух волн одинаковой амплитуды

где бесконечно малые величины. Результирующее возмущение будет иметь вид

где Следовательно, из уравнения (1) мы видим, что результат наложения двух волн можно рассматривать как прогрессивную волну с переменной амплитудой, которая изменяется как волна со скоростью Эта скорость называется групповой скоростью, для волн длины А, она выражается в виде

Используя значение скорости волны с, определяемое формулой (3) п. 14.13, мы получаем для одной группы простых гармонических волн следующее выражение для скорости:

Если велико, то групповая скорость равна Таким образом, для волн на глубокой воде групповая скорость равна половине скорости волны. Если вода очень мелкая мало), то групповая скорость равна скорости волны.

В более общем случае местное возмущение, такое, как всплеск, будет порождать волны различной длины с малыми амплитудами Если рассматривать только волны приблизительно одинаковой длины то возвышение на расстоянии х в момент времени будет состоять из

суммы большого числа бесконечно малых членов; таким образом,

где

Далее, имеем

Следовательно, величины а значит, и величины Сие являются функциями от Таким образом, огибающая графика амплитуд движется как волна со скоростью (рис. 267).

Рис. 267.