Обозначим точку на единичной окружности через о, тогда
Следовательно, на единичной окружности формула (2) принимает вид
Функцию 
удобно назвать граничной функцией. Если разложить ее в ряд по 
, то можно записать
где функция 
содержит все отрицательные спепени о и не содержит неотрицательных степеней. Таким образом, функция 
является аналитической вне единичного круга и обращается в нуль на бесконечности.
Граничные условия (4) можно записать теперь в виде
Умножая это равенство на 
и интегрируя по окружности единичного круга у, получаем
Далее, функции 
являются аналитическими вне у, в то время как функции 
аиалитичны внутри у. Следовательно, если точка 
лежит вне окружности у, то, применяя формулу Коши 
найдем, что второй и четвертый интегралы обращаются в нуль. Вычисляя первый и третий интегралы, получаем равенство
Так как функция 
содержит только отрицательные степени 
то условие обращения скорости в нуль на бесконечности также удовлетворено.
Чтобы показать, что найденная скорость жидкости всюду физически допустима, рассмотрим соотношение
Преобразование (1) является конформным во всех точках вне контура, поэтому в жидкости не существует нулей функции 
и скорость жидкости всюду конечна.
Итак, с помощью преобразования (1) мы составляем граничную функцию (2), отделяем члены с отрицательными степенями 
которые стремятся к нулю, когда 
. В результате получаем комплексный потенциал (8) как функцию 
Если бы удалось с помощью формул (1) и (8) исключить 
то мы получили бы, конечно, комплексный потенциал как функцию 
Но во многих случаях проводить такое исключение или невозможно, или нежелательно.
Наконец, мы можем получить комплексный потенциал 
обтекания цилиндра, положив в формуле 
и наложив противоположно направленной поток со скоростью 
. В результате этого можно получить соотношение
и скоростью 
точки О поперечного сечения цилиндра, причем скорость направлена под углом а к оси х (рис. 169). Предположим, что область вне цилиндра С в плоскости 
(система координат имеет начало в точке О, связанной с цилиндром) может быть конформно отображена на внешность единичной окружности 
в плоскости комплексной переменной 
с помощью функции
переходит в бесконечно удаленную точку плоскости 
Тогда для жидкости, покоящейся на бесконечности, комплексный потенциал 
не может содержать положительных степеней 
в разложении в степенной ряд по 
