6.41. Теорема Блазиуса.

Пусть неподвижный цилиндр помещен в установившееся безвихревое течение жидкости. Обозначим через проекции главного вектора сил давления, действующих на цилиндр, на оси некоторой системы координат, а через главный момент этих сил относительно начала координат.

Рис. 115.

Тогда, если пренебречь внешними силами, можно записать равенства

где комплексный потенциал течениям плотность жидкости, а интегралы берутся вдоль контура цилиндра.

Доказательство. В точке на элемент дуги действуют силы которые создают момент (рис. 115).

Таким образом,

Из уравнения для давления имеем

где а — некоторая постоянная.

Так как постоянное давление не дает результирующей силы, мы можем принять, что

откуда следует, что

Но на контуре С и, следовательно, так что

Проинтегрировав последние два равенства вдоль контура С, получим искомое выражение для силы и момента, что и требовалось доказать. Иногда оказывается полезным рассматривать равенство

где - мнимая часть интеграла.

Если движение жидкости неустановившееся, то уравнение для давления содержит член следовательно, к выражениям для силы и момента мы должны добавить члены

Однако на цилиндре функция принимает постоянное значение Следовательно,

Таким образом, в полученное выражение для надо добавить соответственно члены

В только что сформулированной теореме Блазиуса все интегралы брались по контуру цилиндра. Этот контур может быть расширен произвольным образом, если только он не охватывает при этом новых особых точек подинтегральной функции. В гидродинамике такие особые точки встречаются в тех случаях, когда в жидкости имеются источники и стоди. Однако с этими явлениями мы будем иметь дело позже, а теперь рассмотрим несколько простых примеров на применение теоремы к различным случаям обтекания тел.

Пусть цилиндр движется с постоянной скоростью в покоящейся жидкости. Тогда силы можно вычислять по теореме Блазиуса, так как динамические условия не изменяются, если на это движение наложить постоянную скорость, равную и противоположно направленную скорости цилиндра. При этом цилиндр будет находиться в покое, а жидкость будет обтекать цилиндр.

Мы можем, кроме того, получить формулы для силы и момента, выраженные через функцию которая существует, если данное движение жидкости вихревое. В самом деле, с помощью формулы (1) п. 5.33 мы получаем

Следовательно, положив в выражении находим

Но постоянна на контуре С, поэтому

Комбинируя равенства (1), (2), (5) и (6), мы находим равенства

Далее, заметим, что хотя зависит от на контуре С переменная является функцией следовательно, после исключения в равенствах (7) мы можем использовать теорему о вычетах и теорему об изменении контура интегрирования.