2.24. Обобщенное определение оператора V.

Мы видели, что в результате применения векторного оператора V к скалярной функции получается вектор определяемый формулой (3) п. 2.23. Это обстоятельство, естественно, побуждает нас выяснить смысл выражений где некоторая векторная функция, зависящая от координат. В последующих рассуждениях будем считать X некоторой функцией координат; эта функция может быть как скалярной, так и векторной. Тогда определим оператор VX равенством

где V — объем, ограниченный поверхностью точка в которой вычисляется величина VX, является внутренней по отношению к поверхности когда максимальный линейный размер 5 стремится к нулю. Через обозначен единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности . В выражении VX умножение может быть скалярным, векторным или диадным, если X является вектором. Подставляя вместо X сначала скаляр а затем вектор мы получаем следующие определения:

В формулах (2)-(4) справа даются обозначения соответствующих понятий.

Из формулы (2) следует (ср. п. 2.23), что данное здесь определение оператора V не противоречит первоначальному определению V как оператора градиента над скаляром.

Отметим также, что V является векторным оператором в том смысле, что если есть некоторый вектор, то выражения или

остаются соответственно вектором, скаляром или вектором, если заменяется на

Таким образом, из соотношения (1) и из формул

следуют равенства

В общем случае мы можем обращаться с формулами, которые содержат оператор V, так как если бы V был обычным вектором; при этом необходимо иметь в виду, что в полученном результате оператор V не может быть крайним правым множителем и что мы различаем переменные векторы и векторы постоянные.

2.31. Оператор ...

Пусть а — некоторый вектор, не изменяющийся при переходе к пределу в формуле (1) п. 2.24. Тогда, применяя правила п. 2.16 и учитывая, что V — векторный оператор, получаем соотношения

Если положить то из формулы (5) п. 2.22 видно, что выражение равно вектору а, умноженному на скорость изменения функции по направлению вектора а.

Рис. 34.

Отметим, что скалярный дифференциальный оператор. Чтобы выяснить геометрический смысл соотношения (2), заметим, что вектор имеет некоторые скалярные компоненты вдоль трех произвольных фиксированных некомпланарных векторов и, следовательно, выражение равно произведению величины а на скорость изменения вектора по направлению вектора а. Кроме того, так как является скалярным оператором, то обычные правила дифференцирования произведения дают нам соотношения

Заметим также, что для бесконечно малого приращения радиуса-вектора точки имеют место равенства

В качестве приложения рассмотрим следующий важный пример. Пусть скорость жидкости в точке равна а скорость жидкости в точке положение которой относительно определяется бесконечно малым вектором равна (рис. 34). Тогда с точностью до членов первого порядка малости можно записать соотношение