3.70. Связность. Определение.

Область называется связной, если мы можем перейти от какой-либо точки области к другой ее точке, двигаясь вдоль траектории, каждая точка которой лежит в данной области.

Таким образом, внутренняя область сферы (рис. 57), или область между двумя коаксиальными бесконечно длинными цилиндрами (рис. 58), является связной.

Определение. Замкнутая линия, все точки которой лежат в данной области, называется приводимой, если ее можно стянуть в точку области, не выходя за пределы области.

Замкнутая линия на рис. 57, 58 является приводимой. Линия на рис. 58 не приводима, так как она не может быть сделана меньше, чем окружность внутреннего цилиндра.

Определение. Область, в которой всякий замкнутый контур приводим, называется односвязной.

Рис. 57.

Рис. 58.

Рис. 59.

Примерами односвязных областей являются: внутренняя область сферы; внешняя область сферы; область, внешняя по отношению к некоторому числу сфер; область между двумя концентрическими сферами; неограниченное пространство.

Область между двумя концентрическими цилиндрами на рис. 58, несомненно, не является односвязной, так как она содержит неприводимые замкнутые линии. Однако мы можем сделать эту область односвязной, проводя перегородку или границу, которая не пересекает сама себя, как, например, скость содержащую образующую каждого цилиндра (рис. 59).

Если провести эту перегородку, то каждая замкнутая линия в видоизмененной области становится приводимой и видоизмененная область является поэтому односвязной.

Кроме того, мы заметаем, что проведение добавочной перегородки между внутренним и внешним цилиндрами разделяет область на две части, из которых каждая в отдельности является связной областью, а в совокупности они не образуют связную область. Таким образом, мы пришли к следующему определению.

Определение. Область называется двусвязной, если она может быть сделана односвязной с помощью проведения одной перегородки. Область называется -связной, если она может быть сделана односвязной с помощью проведения перегородки.

Примерами двусвязных областей являются: область между двумя коаксиальными бесконечно длинными цилиндрами; область, внутренняя по отношению к тору; область, внешняя по отношению к тору; область, внешняя по отношению к бесконечно длинному цилиндру.

Другая полезная идея содержится в следующем определении.

Определение. Траектории, соединяющие две точки области, называются взаимно переводимыми, если одна из них может быть непрерывно деформирована в другую, не выходя из области.

Таким образом, на рис. 57, 58 траектории взаимно переводимы. На рис. 58 траектории и взаимно непереводимы. Ясно, что две

взаимно переводимые траектории, взятые вместе, образуют приводимую замкнутую кривую линию.

Определение. Две замкнутые кривые линии называются взаимно переводимыми, если каждая из них может быть непрерывно деформирована в другую, не выходя из области.

Взаимно переводимые кривые линии не всегда являются приводимыми.

Термин «взаимно переводимый» также может быть применен к поверхности (ср. п. 3.62). Таким образом, поверхности в теореме Стокса, выражаемой формулой (1) п. 2.51, должны быть взаимно переводимыми внутри объема, занятого жидкостью.

Вышеуказанные свойства областей надо называть скорее топологическими, чем просто геометрическими, так как они в основном не зависят от частного вида упоминаемых границ. Например, поперечные сечения цилиндров могут быть эллипсами или какими-либо другими простыми замкнутыми кривыми.