12.26. Глиссирование пластинки по поверхности потока.

Рассмотрим изображенную на рис. 213 неподвижную пластинку ширины на которую набегает поток бесконечной глубины со скоростью в бесконечности. Предполагается, что у задней кромки пластинки в точке В поток сходит по свободной поверхности вдоль линии тока а у передней кромки в точке В образуется струя воды.

Рис. 213.

Эта струя ограничена свободными линиями тока

и Область за пластинкой между линиями и занята атмосферным воздухом при давлении такая же область находится выше и правее линии Следовательно, вдоль всех этих свободных линий тока величина скорости постоянна и равна скорости потока в точке

Существует линия тока, которая встречается с пластинкой в некоторой точке А и разделяется на две свободные линии тока и Предположим, что эта разветвляющаяся линия тока отвечает значению Выберем начало координат в точке А и ось х направим по линии Предположим также, что направление потока в бесконечности составляет угол отрезком АВ.

Если с — ширина струи в бесконечности, то вдоль линии мы должны иметь

Диаграмма течения в плоскости показана на рис. 213, который следует сравнить с рис. 207. Отобразим область плоскости на верхнюю половину плоскости ставя точкам в соответствии значения а точкам -значения Так как многоугольник на плоскости имеет внутренний угол в вершине А, равный и в вершине равный 0, то преобразование Шварца — Кристоффеля дает

так что

При обходе вокруг точки в плоскости аргумент величины убывает от до и поэтому величина убывает на таким образом, функция (мнимая часть убывает на величину . Но при обходе вокруг точки С, как показывает диаграмма на плоскости функция убывает от значения до 0. Таким образом, находим

Рассмотрим теперь поведение функции — когда точка описывает контур Вдоль свободных линий тока величина скорости постоянна. Следовательно, соответствующий контур, описанный на плоскости, будет иметь вид, изображенный на рис. 213; величина аргумента при этом убывает от до .

Соответствующая область в плоскости изображена на том же рисунке. Для получения отображения этой области на плоскость используем преобразование Шварца — Кристоффеля, которое дает

так что

В точках функция принимает значения а величина С принимает значения . Поэтому имеем

Таким образом, получим

так что

Отсюда находим

Здесь перед квадратным корнем взят отрицательный знак, так как в критической точке

Из последней формулы получаем

Теперь можно найти значение а, учитывая, что в точке имеем — (рис. 213) и Таким образом, формула (3) дает

отсюда так как

Кроме того, из формул (1) и (3) получаем

Интегрируя это выражение по от до после некоторых преобразований получаем следующую формулу для ширины пластинки:

Для величины полного давления на пластинку, как и в п. 12.21, получаем выражение

Вывод этой формулы предоставляем выполнить читателю. При больших значениях приближенно находим

Сила перпендикулярна к пластинке; поэтому ее можно разложить на лобовое сопротивление и подъемную силу тогда

Комбинируя формулы (4) и (5), получаем соотношение

Отсюда, считая, что величина велика, можно найти следующее разложение в степенной ряд:

Если в последнем выражении считать, что то получаем формулу Рэлея

Так как при точки сливаются, то эта формула дает величину полного давления на пластинку, когда неограниченный поток под углом а

ударяется о пластинку, набегая на нее и обтекая ее с отрывом струи, как изображено на рис. 214. Случай, когда был нами рассмотрен в п. 12.21.

Рис. 214.