2.14. Тройное векторное произведение.

Если с — три вектора, то комбинация называется тройным векторным произведением.

Это есть векторное произведение векторов Заметим, что Отсюда следует правило центричности: знак тройного векторного произведения изменяется только с изменением центрального вектора.

Рис. 29.

Тройное векторное произведение обладает очень важным свойством, которое выражается соотношением

Доказательство. Вектор перпендикулярен вектору который в свою очередь перпендикулярен плоскости, содержащей векторы Таким образом, вектор а лежит в плоскости векторов и, следовательно, может быть выражен через векторы соотношением

где — скаляры. Так как вектор перпендикулярен а, то скалярное произведение этих двух векторов равно нулю. Следовательно,

Таким образом,

где скаляр. Отсюда следует, что

Чтобы определить скаляр X, составим скалярное произведение с некоторым вектором который компланарен векторам ней перпендикулярен вектору с (рис. 29). Тогда следовательно,

Здесь мы использовали свойство тройного скалярного произведения. Далее, вектор компланарен векторам и перпендикулярен вектору следовательно, он параллелен вектору с. Если — угол между векторами то величина этого вектора равна

и поэтому имеет место равенство

Отсюда находим, что

и, следовательно, что и требовалось доказать. Заметим также, что равенство

можно получить с помощью мнемонического правила: член с отрицательным знаком всегда получается сдвигом скобок в тройном произведении при сохранении порядка сомножителей.