2.14. Тройное векторное произведение.
Если
с — три вектора, то комбинация
называется тройным векторным произведением.
Это есть векторное произведение векторов
Заметим, что
Отсюда следует правило центричности: знак тройного векторного произведения изменяется только с изменением центрального вектора.
Рис. 29.
Тройное векторное произведение обладает очень важным свойством, которое выражается соотношением
Доказательство. Вектор
перпендикулярен вектору
который в свою очередь перпендикулярен плоскости, содержащей векторы
Таким образом, вектор а
лежит в плоскости векторов
и, следовательно, может быть выражен через векторы
соотношением
где
— скаляры. Так как вектор
перпендикулярен а, то скалярное произведение этих двух векторов равно нулю. Следовательно,
Таким образом,
где
скаляр. Отсюда следует, что
Чтобы определить скаляр X, составим скалярное произведение с некоторым вектором
который компланарен векторам
ней перпендикулярен вектору с (рис. 29). Тогда
следовательно,
Здесь мы использовали свойство тройного скалярного произведения. Далее, вектор
компланарен векторам
и перпендикулярен вектору
следовательно, он параллелен вектору с. Если
— угол между векторами
то величина этого вектора равна
и поэтому имеет место равенство
Отсюда находим, что
и, следовательно,
что и требовалось доказать. Заметим также, что равенство
можно получить с помощью мнемонического правила: член с отрицательным знаком всегда получается сдвигом скобок в тройном произведении при сохранении порядка сомножителей.