7.45. Теорема Кутта—Жуковского.

Если неподвижный профиль крыла обтекается с циркуляцией К равномерным плоско-параллельным потоком воздуха со скоростью V в бесконечности, то на крыло действует подъемная сила, равная и направленная перпендикулярно скорости Направление вектора подъемной силы получается поворотом вектора V на прямой угол в сторону, противоположную направлению циркуляции.

Доказательство. Так как поток воздуха равномерный и его скорость в бесконечности задана, то при достаточно больших значениях имеет место следующее разложение в ряд:

где — угол атаки (рис. 127). Отсюда находим Поскольку циркуляция равна К, то надо положить

так как увеличивается на при одном обходе профиля в положительном направлении. Из формул (1) и (2) получаем

Если мы проинтегрируем это выражение по окружности достаточно большого радиуса, чтобы разложение (3) было справедливо, то, согласно теореме Блазиуса — Чаплыгина (см. п. 6.41), получим результирующую силу

изменив здесь на получаем

Рис. 136.

Сравнение этой формулы с рис. 136 показывает, что полученная здесь сила удовлетворяет всем условиям теоремы.

Замечания.

(I) Эта теорема была открыта Кутта в 1902 г. и независимо от него Жуковским в 1906 г.

(II) Подъемная сила не зависит от формы профиля.

(III) Рассмотренная теория не позволяет определить лобовое сопротивление профиля, так как не учтено наличие вихревого следа и сил вязкости (см. п. 19.74).

(IV) Если крыло движется в неподвижном воздухе, то направление подъемной силы получается путем поворота вектора скорости крыла на прямой угол в направлении циркуляции.

(V) Используя теорему Блазиуса — Чаплыгина и формулу (3), легко получить следующую величину для момента силы относительно начала координат: