18.23. Вихревая нить.

Пусть все вихри в жидкости сводятся к одной едииственной вихревой нити. В п. 3.52 было доказано, что произведение величины вихря на бесконечно малую площадь поперечного сечения такой нити является постоянным. Назовем это произведение х интенсивностью вихревой нити. Скорость, индуцированная в точке элементом вихревой нити (рис. 327), будет равна

где единичный вектор касательной к вихревой нити.

Рис. 326.

Рис. 327.

В случае замкнутой вихревой нити С (вихревое кольцо бесконечно малого поперечного сечения) будем иметь

Применяя теорему Стокса в форме (3) из п. 2.51, получаем

где — любая поверхность, имеющая своей границей кольцо С.

Далее, по формуле для двойного векторного произведения будем иметь

причем последний член здесь обращается в нуль, поскольку является сферической гармонической функцией.

Так как

Отсюда следует, что скорость в точке выражается через потенциал скорости

Но где — угол между и прямой, соединяющей элемент и точку Этот угол показан на рис. 327 (заметим, что на этом рисунке величина отрицательна). Далее, представляет собой проекцию площадки на плоскость, перпендикулярную следовательно, есть элементарный телесный угол, под которым площадка видна в точке Таким образом, окончательно получаем

где сор — телесный угол, под которым в точке видна любая поверхность, ограниченная замкнутой нитью С.

Рис. 328.

Это положение иллюстрируется на рис. 328, на котором показана сфера единичного радиуса с центром в точке телесный угол измеряется на поверхности этой сферы. Можно заметить, что найденная выше величина равна потоку через отверстие, ограниченное вихревым кольцом С, который обусловлен точечным источником мощности находящимся в точке Если точка описывает некоторую замкнутую кривую, которая один раз охватывает вихревое кольцо, то телесный угол при этом увеличивается или уменьшается на в соответствии с выбранным направлением отсчета. Следовательно, потенциал является многозначной функцией. Это согласуется с тем обстоятельством, что наличие вихревого кольца делает пространство двусвязным.

Поскольку количество движения жидкости равно интегралу который берется по обеим сторонам 5 [см. формулу (3) п. 17.20], мы имеем

где интеграл, который одинаков для любых поверхностей, берется по одной стороне так как по замкнутой поверхности равен нулю. Если

вихревое кольцо представляет собой плоскую кривую с площадью А и нормалью то