6.32. Эллиптические координаты.

Пусть

где

Тогда

откуда следует, что

и. следовательно,

Из уравнения (3) видно, что если имеет постоянное значение то точка с координатами лежит на эллипсе, большая и малая полуоси которого равны соответственно

и, следовательно,

Эллипсы, соответствующие постоянным значениям образуют семейство софокусных эллипсов, расстояние между фокусами которых

равно Кривые (4), соответствующие постоянным значениям являются гиперболами, софокусными друг с другом и с эллипсами.

Далее, через любую точку плоскости мы можем провести два конических софокусных сечения, одно из которых является эллипсом, а другое — гиперболой. На эллипсе величина сохраняет постоянное значение, а на гиперболе — величина Если мы знаем эти значения то мы можем провести конические сечения, а их пересечение фиксирует нам точку. Поэтому параметры называются эллиптическими координатами.

Рассмотрим подробнее эллипс Из формулы (3) мы видим, что является эксцентрическим углом точки на эллипсе. Геометрический смысл сказанного ясен из рис. 112.

На этом рисунке является главной осью эллипса а точки 5 и являются его фокусами. На рис. 112 показана также софокусная гипербола, пересекающая эллипс в точке На как на диаметре, построена вспомогательная окружность. Ордината пересекает эту окружность в точке Угол

Рис. 112.

Полуоси эллипса суть поэтому сравнение выражений (2) и (5) показывает, что есть эксцентрический угол точки Но

и, следовательно, имеет место необходимый результат.

Мы можем теперь видеть, что если на ветви гиперболы, лежащей в первом квадранте, то на ветвях той же самой гиперболы, лежащих во втором, третьем и четвертом квадрантах, принимает значения соответственно

Из формулы (4) видно также, что прямая

является асимптотой для гиперболы, проходящей через точку Эта асимптота совпадает с радиусом

Чтобы закончить описание эллипса рассмотрим уравнения (5). Складывая и вычитая эти уравнения, получаем равенства

Разделив первое равенство (6) на второе, найдем, что

и. следовательно,

Это равенство определяет параметр в зависимости от полуосей эллипса

Наконец, заметим, что фокусы соответствуют значениям Это непосредственно следует из формул (2).