17.32. Скорость изменения импульса.

Вместо движущейся системы отсчета с началом в точке О, зафиксированной относительно тела (рис. 317), мы будем в этом пункте рассматривать систему отсчета с началом в точке О, неподвижную в пространстве (см. п. 3.55). Скорость изменения во времени относительно этой системы отсчета будем обозначать через Докажем, что если импульсивная динама, определенная в п. динама внешних сил, приложенных к телу, причем обе эти динамы отнесены к одному центру приведения, то

Доказательство. Представим себе некоторую замкнутую поверхность неподвижную в пространстве и содержащую внутри тело 5. Эта поверхность рассматривается чисто геометрически и не является какой-либо материальной границей при движении жидкости. Пусть динама количества движения определяет количество движения системы состоящей из тела и жидкости, находящейся внутри поверхности в момент времени Если предположить, что движение тела и неограниченной жидкости, которое фактически существует в момент времени создается мгновенно из положения покоя, как это описано в п. 17.31, с помощью импульса приложенного к телу, то во всей жидкости будет существовать импульсивное давление следовательно, внешний импульс, действующий на систему 2 будет состоять только из динамы и импульсивного давления на поверхности Итак, эти импульсы создают динаму количества движения Следовательно, если единичный вектор внешней нормали к элементу то

причем второй интеграл здесь представляет собой момент импульсивной силы давления относительно точки О.

Уравнение для давления имеет вид

причем постоянное давление С на границе не оказывает влияния. Тогда уравнения движения системы запишутся в виде

причем интегралы в правой части представляют собой соответственно потоки количества движения и момента количества движения через поверхность (см. пп. 3.40, 3.42). Исключив отсюда и Не с помощью уравнения (2), получим уравнения

Поскольку левые части этих уравнений не зависят от то интегралы в правых частях уравнений также не зависят от частного вида замкнутой поверхности Для доказательства равенств (1) примем, что все точки поверхности находятся на бесконечно большом расстоянии от тела, тогда эти интегралы обратятся в нуль. Отсюда сразу следует справедливость равенств (1).

Из формулы (3) п. 3.75 следует, что в любой точке внутри жидкости имеет место соотношение

где расстояние от точки до элемента поверхности тела, по которой вычисляются эти интегралы.

Для точек на большом расстоянии от начала О можно положить где бесконечно малая величина, поэтому приближенно получим

Заметим, что в силу уравнения неразрывности Поэтому потенциал имеет порядок

где величина А не зависит от Отсюда следует, что скорость имеет порядок Для точек на поверхности имеем где элементарный телесный угол. Следовательно, интегралы в уравнениях (3) и (4) являются величинами порядка

Ясно, что при эти величины стремятся к нулю, что и требовалось доказать.