14.80. Трохоидальная волна Герстнера.
В 1802 г. Герстнер, профессор математики в Праге, показал, что при специально выбранном трохоидальном профиле давление будет постоянно вдоль свободной поверхности глубокой, воды. Это единственное известное точное решение задачи о волновом движении. Однако это движение не является безвихревым.
Рис. 280.
Направим ось х горизонтально, а ось у — вертикально вверх. Пусть 
параметры Лагранжа, определяющие положение отдельной частицы жидкости при отсутствии волн. Тогда волну Герстнера можно получить, если предположить, что положение этой частицы жидкости определяется формулами
Отсюда видно, что траекторией этой частицы является окружность с центром 
и радиусом 
(рис. 280).
Угловая скорость радиуса, соединяющего частицу 
с центром 
равна 
Если мы будем рассматривать другие частицы, то в формулах (1) изменятся только значения 
Для доказательства того, что формула (1) дает возможное движение жидкости, надо проверить, удовлетворяется ли уравнение неразрывности. Из формулы (1) мы имеем
Согласно п. 3.44, уравнение неразрывности принимает вид
Правая часть здесь является константой, так что движение возможно.
Теперь следует получить условие на поверхности. Компонентами ускорения частицы являются 
следовательно, уравнейия движения принимают вид
или
Умножим эти уравнения соответственно на следующие равенства:
и затем сложим. Тогда получаем
Точно так же, складывая эти уравнения после их умножения на величины 
мы получим
Умножая уравнения (3) и (4) соответственно на 
и складывая результат, получаем
и, следовательно,
Для частицы, находящейся на свободной поверхности, величина 
должна быть постоянной, если пренебречь поверхностным натяжением, и, следовательно, коэффициент при 
должен обратиться в нуль, что приводит к равенству
Таким образом, условие на свободной поверхности удовлетворяется точно и давление в окрестности любой частицы жидкости с параметрами 
выражается формулой
и, следовательно, давление постоянно, если 
постоянно. Это означает, что давление имеет постоянное значение для каждой данной частицы при ее движении. В частности, давление постоянно для всех частиц, для которых параметр 
одинаков независимо от величины а.
Если для частиц на свободной поверхности возьмем 
через 
обозначим давление на свободной поверхности, то получим
Это соотношение определяет давление в любой другой точке. Согласно формуле (5), групповая скорость равна
