Глава 18. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ

18.10. Уравнение Пуассона.

Пусть непрерывная функция, значения которой определены в каждой точке принадлежащей объему Положим

где — точка, принадлежащая элементарный объем, содержащий точку Тогда удовлетворяет уравнению

которое называется уравнением Пуассона.

Доказательство. Рассмотрим замкнутую поверхность которая содержит внутри себя точку ограничивает объем у и находится внутри объема Функцию можно рассматривать как потенциал скорости, вызванный непрерывно распределенными ирточниками; мощность источников, отнесенную к единице объема, обозначим через таким образом, элементарному объему будет соответствовать источник мощности т. е. источник с расходом Тогда поток через поверхность в направлении внешней нормали будет просто равен сумме расходов всех источников, находящихся внутри поверхности следовательно,

Но, согласно теореме Гаусса, поток в направлении внешней нормали равен

следовательно,

а поскольку объем у произволен, то отсюда имеем уравнение (1), что и требовалось доказать.

Уравнение Пуассона применимо также и в том случае, когда представляют собой векторы, и имеет при этом такой вид:

Действительно, каждый из векторов можно разложить на три составляющие, а затем применить формулу (1) к каждой из этих составляющих.