19.63. Медленное обтекание сферы.

Пусть твердая сфера радиуса а неподвижно расположена в равномерном установившемся потоке несжимаемой жидкости; скорость потока направлена по отрицательной оси х. Если пренебречь квадратичными членами в уравнении движения, то функция тока должна удовлетворять (см. п. 19-61) уравнению

Граничные условия при этом будут таковы:

на поверхности сферы

на бесконечности

Преобразовав уравнение (1) к полярным координатам получим

и уравнение (1) примет вид

Граничное условие на бесконечности показывает, что решение надо искать в виде

Подстановка этого выражения в уравнение (4) дает

Этому линейному однородному уравнению четвертого порядка удовлетворяет сумма членов вида при условии, что справедливо равенство Отсюда и, следовательно, общее решение имеет вид

где постоянные, которые надо определить из граничных условий.

Условие (3) показывает, что следовательно,

Составляющие скорости равны

Полагая из условия (2) получаем таким образом,

Эта функция обращается в нуль при По формулам (4) и (7) из п. 2.72 определим величину вихря