12.30. Отображение относительно свободных линий тока.

Мы опишем теперь совершенно иной подход, предложенный Шиффманом. Этот подход состоит в том, что переменные величины, описывающие течение, продолжаются через свободные линии тока. При этом определяются границы и особые точки области течений. Этот процесс называется принципом отображения относительно свободных линий тока.

Рис. 215.

Результат продолжения течения через свободные линии тока называется образом, или отображением, действительного течения. Будем отмечать звездочками наверху параметры до, и для отображенного течения; соответствующие параметры для действительного течения обозначаются через

Рассмотрим течения с одной свободной линией тока. Для этого обозначим через величину скорости вдоль свободной линии тока; тогда в плоскости и, или плоскости годографа, свободные линии тока изобразятся дугами окружности

Рассмотрим теперь в плоскостях линии тока, изображенные на рис. 215; при этом свободные линии тока изображены пунктиром. Не нарушая общности, примем, что на свободной линии тока.

Так как функции являются аналитическими функциями от отсюда следует, что переменные являются аналитическими функциями относительно друг друга.

Согласно п. 5.53, функцию можно путем зеркального отражения аналитически продолжить через прямую линию на которой она принимает

действительные значения; поэтому имеем

Так как в плоскости линия тока представляется линией, параллельной линии и ее зеркальное отражение относительно является ее образом, то отсюда следует, что порядок расположения образов будет обратным относительно порядка линий тока (рис. 216).

Рис. 216.

Далее, в силу формулы (1) величины принимают одинаковые значения на дуге окружности Отсюда, согласно принципу аналитического продолжения (см. п. 5.52), имеем

причем точки являются точками инверсии относительно окружности

Поэтому комплексная скорость и ее отображение параллельны друг другу, но модули скорости изменяются в отношении Таким образом, приходим к следующей теореме.

Теорема. Отображение элемента линии тот является элементом, измененным по величине, но прежним по направлению. Порядок линий тот при их отображении меняется на обратный.

Пусть элемент линии тока, элемент ее отображения. Так как

то, используя формулу (2) и учитывая, что на линии тока получаем

Из этих соотношений и из формулы (3) находим

Эта формула дает второе доказательство предыдущей теоремы. Отсюда следует, что длина дуги при отображении меняется в отношении Рассмотрим несколько частных случаев.

Обтекание угла. Пусть поток обтекает внутреннюю сторону угла При отображении получится поток, обтекающий тот же угол, но с внешней стороны, как это показано на рис. 216.

В качестве приложения рассмотрим струю, текущую вдоль стенки, состоящей из двух плоскостей, которые образуют угол (рис. 217).

Рис. 217.

Поток, являющийся отображением, показан на рисунке в виде заштрихованной области. Полный поток, состоящий из действительного потока и его отображения, представляет собой течение в канале, ограниченном стенками и Линия тока, которая делит пополам канал в бесконечности, есть свободная линия тока, вдоль нее величина скорости постоянна и равна Таким образом, и являются прямыми, параллельными соответственно прямым и

и отстоящими от них на расстоянии причем ширина исходной струи в бесконечности; точка В расположена на биссектрисе угла

Критическая точка. При отображении потока, обтекающего внутреннюю область прямого угла в окрестности критической точки О, получается поток, обтекающий внутреннюю область угла таким образом, отображением потоков, обтекающих прямые углы внутри всей окрестности критической точки, являются потоки на трех листах с точкой ветвления О (рис. 218).

Рис. 218.

Равномерный поток в бесконечности. Пусть поток определяется выражением тогда из формулы (3) имеем

так что отображением также является равномерный поток. Из формулы (4) получим

и поэтому неограниченно возрастает вместе с возрастанием Таким отображением является равномерный в бесконечности поток, параллельный исходному, но скорость его изменена в отношении равном единице, так как

Свободные линии тока. Если в потоке есть вторая свободная линия тока, на которой скорость равна V, то формула (4) приводит к уравнению (5), так что отображением является геометрически подобная свободная линия тока. Если то отображение получается в результате поступательного перемещения исходного потока.

Отображение окрестности произвольной точки. Пусть поток в окрестности точки задается формулой

где показатель степени действительное число.

Из формул (6) и (4) находим

Отсюда, интегрируя и сохраняя только главный член разложения, получаем

где отображение точки

Комбинируя этот результат с формулой (3), получаем

Из формулы (7) мы видим, что если то отображением точки является конечная точка; если же то отображением точки является точка в бесконечности.

Простой источник. Пусть в формуле мощность источника и пусть Так как то отображением является равный по мощности источник в бесконечности, но противоположный по направлению. Обратно, отображением простого источника в бесконечности является равный по мощности источник в конечной точке.