5.31. Сопряженные функции.
Действительная и мнимая части аналитической функции от 
называются сопряженными функциями. Таким образом, если
то 
сопряженные функции. Например, функция
дает сопряженные функции 
Согласно условиям Коши—Римана из п. 5.30,
находим уравнения
Таким образом, если 
двумерная форма оператора Лапласа, то видим, что сопряженные функции являются решениями уравнения 
Если приравнять сопряженные функции постоянным величинам, например 
, то получим две системы кривых. Эти кривые оказываются ортогональными, т. е. их касательные в каждой точке пересечения расположены под прямыми углами. Для доказательства заметим, что 
для кривой 
определяется из уравнения
Таким образом, 
Для кривой 
получим 
Из уравнений (1) видно, что произведение этих величин равно —1, и, следовательно, касательные к обеим кривым перпендикулярны (рис. 85). Приведем другое доказательство. Имеем
Следовательно,
так что элементы дуг кривых 
перпендикулярны друг другу.
Следовательно, кривые 
проведенные для малых интервалов изменения постоянных 
делят плоскость на бесконечно малые прямоугольники, причем не все они имеют одинаковые размеры.
Рис. 85.
Рис. 86.
Для иллюстрации рассмотрим сопряженные функции, определяемые формулой 
Функция 
является неаналитической внутри любой кривой, окружающей начало координат, так как при движении вокруг начала координат в положительном направлении 
увеличивается на 
следовательно, 
увеличивается на 
так что функция 
неоднозначная. Если 
аналитическая функция, то она должна быть непрерывна и однозначна в рассматриваемой области. Этого можно достичь введением дополнительных ограничений. Исключим начало координат, проведя вокруг него окружность малого радиуса 
и сделаем разрез вдоль положительной части действительной оси; таким образом, точка 
может двигаться вне проведенной окружности любым путем, но не пересекая положительной части действительной оси (рис. 86). Для определения логарифма условимся, что 
если 
Тогда получаем
где 
может теперь принимать только значения от 
до 
но не другие. Кривые 
представляют собой окружности с центром в начале координат, кривые 
— прямые линии, идущие по радиусам из начала координат.
Полученное семейство линий показано на рис. 87.
Рис. 87.
