9.52. Обобщение теоремы Чаплыгина-Блазиуса.

Формула (3) п. 9.50 дает силу, действующую на движущийся цилиндр. Она может быть записана в виде

где интегралы берутся вдоль контура цилиндра. Используя формулы (5) и (6) предыдущего пункта, мы получаем

Далее, равен приращению величины при обходе цилиндра и, следовательно, равен где интенсивность циркуляции (которая может быть равна нулю).

Кроме того, очевидно, имеет место равенство поэтому, интегрируя по частям, находим, что

Так как произведение не изменяется при обходе контура цилиндра, то следовательно,

Далее, из формулы (4) п. 9.40 на поверхности цилиндра мы имеем

Следовательно, из формулы (7) п. 9.50 получим

Отсюда

Кроме того, на основании формулы (2), находим

Подставляя формулы (3) и (4) в формулу (1), мы получаем

Это соотношение можно рассматривать как обобщенную форму теоремы Чаплыгина-Блазиуса для силы, действующей на движущийся цилиндр. Преимущество этой формы теоремы состоит в том, что все интегралы берутся по контуру цилиндра или по любому большему контуру, который стягивается к нему, не пересекая особенностей, таких, как источники, стоки или вихри.

Аналогичными вычислениями можно показать, что момент сил давления относительно начала координат является действительной частью выражения

где радиус инерции сечения цилиндра относительно точки О.

Приведение формулы (4) п. 9.50 к предыдущему выражению с помощью результатов п. 5.43 оставляем читателю в качестве упражнения.

Легко видеть, что начало координат удобно брать в центре тяжести сечеиия цилиндра, так как в таком случае

Полученные результаты интересны тем, что они являются совершенно общими, так как могут быть применены как к установившемуся, так и к неустановившемуся движению.

В случае установившегося движения члены, содержащие производные по времени, исчезают.