15.28. Эквивалентный слой Грина.

Связная замкнутая поверхность делит пространство на две области Пусть обозначают элементы нормали к поверхности проведенные соответственно в областях Тогда имеем

Пусть через обозначены потенциалы скоростей ациклического безвихревого движения жидкости соответственно в областях

Рассмотрим движение, задаваемое потенциалом Из формулы (2) п. 2.63 мы имеем

если точка находится в области и

если точка находится в области

Мы можем интерпретировать соотношение (2) следующим образом: в каждой точке области потенциал скорости действительного движения такой же, как потенциал, который создается распределенным источником мощности на единицу площади по поверхности и распределенным диполем с моментом, равным на единицу площади, по поверхности

Эти распределенные источник и диполь составляют эквивалентный слой источников и диполей Грина. Они дают действительную скорость в каждой точке области и нулевую скорость в каждой точке области

Теперь возвращаемся к потенциалу Точка находящаяся в области является внешней относительно области следовательно, формула (3) дает

если точка находится в области Складывая формулы (2) и (4), получаем

Опять эту формулу можно интерпретировать как результат действия распределенных источников и диполей. Таким образом, ранее найденный эквивалентный слой не является единственным.

Однако если мы возьмем на поверхности то второй интеграл в формуле (5) обратится в нуль. Таким образом, если мы мысленно заменим поверхность мембраной, то будем иметь на поверхности соотношение так что касательная скорость непрерывна, но нормальная скорость разрывна. В этом случае мы получаем единственное распределение источников мощности

на единицу площади, которое создает данное движение жидкости. С другой стороны, выберем таким образом, чтобы было на поверхности S. Тогда первый интеграл в формуле (5) обратится в нуль, и мы будем иметь непрерывную нормальную скорость, но разрывную касательную скорость на поверхности т. е. вихревой слой. В этом случае мы имеем единственное распределение диполей с моментами, равными на единицу площади, которое может создать данное движение жидкости.

Вывод из этого результата состоит в том, что вихревой слой может быть заменен распределением диполей.

Если движение в области является циклическим с интенсивностями циркуляции то мы можем использовать диполи, а не источники для получения формулы

Здесь однозначная функция, определенная в области видоизмененной в односвязную с помощью введения барьеров потенциал скоростей ациклического движения, созданного в области путем приложения соответствующих нормальных скоростей к каждому элементу воображаемой мембраны, совпадающей с первоначальной поверхностью