8.70. Отображение на единичный круг.

Рассмотрим в плоскости круг единичного радиуса с центром в начале координат. Координаты любой точки окружности этого круга можно представить в форме

Рис. 156.

Так как угол увеличивается от до то точка описывает окружность в направлении против часовой стрелки. Поскольку мы будем рассматривать область вне этой окружности, то удобно написать так что при увеличении I от до точка описывает окружность по часовой стрелке и, следовательно, область, внешняя по отношению к окружности, остается слева (рис. 156). Таким образом, каждая точка окружности может быть выражена в виде

Если координаты точки заданной кривой можно представить в виде

где кривая описывается по часовой стрелке при увеличении от до то область, внешняя относительно данной кривой, отображается на область, внешнюю относительно единичного круга, с помощью формулы

Этот результат получается путем исключения из формул (1) и (2), так как направления обхода кривых одинаковы.

Например, в случае эллипса с полуосями мы имеем

так что требуемое отображение

является преобразованием Жуковского.

Семейство кривых, обладающих этим свойством, было изучено Ринчем; оно описывается уравнением

Рассматриваемые кривые отображаются на единичную окружность с помощью формулы

которую следует сравнить с формулой (5).

Это семейство состоит из кривых, начиная от гипоциклоид с тремя точками возврата, если и кончая симметричными профилями крыльев, если