Глава 6. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

6.00. Комплексный потенциал.

Пусть потенциал скорости и функция тока безвихревого двумерного движения невязкой жидкости. Приравнивая компоненты скорости, выраженные через производные от потенциала скорости и функции тока, получим равенства

Определим комплексный потенциал движения жидкости соотношением

Согласно п. 5.30, из равенств (1) следует, что потенциал есть аналитическая функция комплексной переменной в любой области, в которой являются однозначными функциями.

Обратно, если мы предполагаем, что есть аналитическая функция переменной то действительная и мнимая части этой функции представляют собой потенциал скоростей и функцию тока для некоторого возможного двумерного безвихревого движения жидкости, так как они удовлетворяют уравнениям (1) и уравнению Лапласа.

Рис. 100.

Рис. 101.

Так, например, функция характеризует движение жидкости с потенциалом скоростей и функцией тока Это движение уже было изучено в п. 4.70.

Так как также является функцией то, следовательно, — являются потенциалом скоростей и функцией тока некоторого другого движения. в котором линии тока и линии равного потенциала поменялись ролями.

Ниже будет установлено, что математический анализ двумерного движения жидкости существенно упрощается, если ввести комплексный потенциал вместо двух функций Это упрощение подобно тому, которое имеет место при использовании одного векторного уравнения вместо трех уравнений относительно проекций векторов в декартовых координатах. В двумерном случае мы имеем дело с одним уравнением относительно

функций, зависящих от переменной вместо двух уравнений относительно функций, зависящих от переменных

Размерность комплексного потенциала равна произведению размерности скорости на размерность длины, т. е.

Проиллюстрируем сказанное несколькими примерами. Будем обозначать скорость через а длину через а, причем и — действительные величины.

В этом случае движение является однородным потоком, направленным вдоль отрицательной оси х (рис. 100).

Линии тока представляют собой окружности, касающиеся оси х в начале координат (рис. 101). Это течение вызвано диполем, помещенным в начале координат (см. п. 8.23).

Рис. 102.

Течение, описываемое этим потенциалом, представляет собой обтекание некоторого угла а; линии тока течения асимптотически приближаются к сторонам угла (рис. 102). Частный случай такого течения при был рассмотрен в п. 4.70.

С математической точки зрения комплексный потенциал в форме определяет конформное отображение плоскости на плоскость При этом линии тока течения в плоскости переходят в прямые параллельные действительной оси плоскости Нахождение такого отображения является основным принципом решения задач гидродинамики методами теории функций комплексного переменного.