13.70. Вихревая пелена.

В п. 13.20 мы определили прямолинейный вихрь как предельный случай цилиндрической вихревой трубки, когда поперечное сечение ее стягивается в точку, а поток вихря остается постоянным. Теперь мы используем аналогичный прием, чтобы определить вихревую пелену.

Рис. 255.

На рис. 255 через обозначен вектор единичной нормали в точке поверхности 2. Пусть положительная бесконечно малая скалярная величина; рассмотрим точки радиусы-векторы которых проведены из точки и равны

Когда точка описывает поверхность 2, точки описывают поверхности эквидистантные поверхности 2. Рассмотрим элемент поверхности 2, площадь которого равна а центр тяжести находится в точке Нормали к поверхности 2 на границе элемента и касательная плоскости к поверхностям ограничивают малый цилиндр, объем которого равен

Представим себе, что наши поверхности находятся в движущейся жидкости, завихренность которой всюду равна нулю, за исключением области, расположенной между поверхностями Обозначим через воктор вихря в точке Тогда мы можем записать где

Если теперь устремить величину к нулю, а величину завихренности к бесконечности так, чтобы вектор оставался постоянным, то мы получим поверхность 2, называемую вихревой пеленой, интенсивность которой на единицу площади равна

Прежде чем переходить к пределу, заметим, что скорость жидкости непрерывна и имеют место равенства

где через обозначена скорость в точках Складывая эти два равенства, получаем

Этот результат верен при малых значениях величины Таким образом, скорость в точке вихревой пелены является средним арифметическим скоростей в точках, близких к точке и лежащих на нормали к поверхности 2 по разные стороны от поверхности.

Если мы применим теорему Гаусса [см. формулу (2) п. 2.61] к элементарному цилиндру объема (рис. 255), положив то получим приближенное равенство

При этом мы опустили члены более высокого порядка малости, получающиеся за счет искривленной части поверхности цилиндра. Если последнее равенство разделить на и устремить к нулю, то с помощью формулы (1) получим точное равенство

для поверхностной интенсивности вихревой пелены

Ясно, что отличное от нуля значение вектора связано с разрывом компонент скоростей перпендикулярных вектору Следовательно, поверхность, на которой тангенциальная составляющая скорости терпит разрыв, является вихревой пеленой.

Из формулы (4) видно также, что вектор перпендикулярен вектору следовательно, направлен по касательной к вихревой пелене. Двумерная вихревая пелена представляется в плоскости течения линией на которой тангенциальная составляющаяскорости терпит разрыв. Нормальная составляющая скорости при этом разрыва не терпит.

Например, при гребле лопасть погруженного весла разделяет жидкость, движущуюся в противоположных направлениях вдоль поверхности весла (ср. рис. 114). Когда гребец быстро вынимает лопасть из воды, в жидкости образуется тонкая пленка, в которой касательная составляющая скорости резко изменяется; эту пленку можно считать вихревой пеленой. Эта пелена неустойчива и свертывается в вихрь, который обычно и наблюдается. Подобное объяснение можно предложить и для вихрей, которые образуются за краем ложки в чашке с чаем.

Важно заметить, что образование вихревой пелены, например, в следе движущегося крылового профиля не противоречит теореме об отсутствии вихрей в жидкости, которая начала двигаться из состояния покоя под действием приложенного импульса.

В некоторых случаях (см. фото 11, 12) вихревой след за телом состоит из двух цепочек вихрей. Его можно рассматривать как части вихревой пелены, свернувшиеся в сосредоточенные вихри. В связи с этим мы должны будем развить теорию двух цепочек вихрей.