9.21. Траектории частиц.

Рассмотрим фиксированные оси Ох и Оу в тот момент времени, когда центр цилиндра совпадает с точкой О (рис. 163). Частица, находящаяся в точке , движется со скоростью направленной под углом к радиусу-вектору

Рис. 163.

Следовательно, касательная к траектории в точке составляет с осью Ох угол Отсюда, если радиус кривизны траектории в точке то

Далее, когда жидкость обтекает неподвижный цилиндр, то частица движется вдоль линии тока, уравнение которой (п. 6.22) имеет вид

Продифференцируем последнее равенство по у; после несложных преобразований получим

Следовательно,

Мы получили уравнение эластики, т. е. кривой, форму которой принимает абсолютно гибкий прут, подверженный продольному сжатию. Когда цилиндр движется из в точка движется из точки в точку которые являются точками эластики и в которых касательная параллельна оси х.

Теперь вычислим дрейф точки т. е. длину отрезка (см. рис. 163).

В дальнейшем мы будем рассматривать движение жидкости по отношению к цилиндру, который будем считать неподвижным, т. е. жидкость будет двигаться справа налево со скоростью Используя выражение для радиальной и траисверсальной компонент скорости из п. 9.20, мы получаем следующие уравнения для относительного движения:

Один из интегралов этих уравнений есть функция тока (1), где постоянная задает начальное и конечное расстояние частицы от линии движения центра цилиндра. Тогда из формул (1) и (2) находим величину дрейфа в виде

Это движение может быть описано эллиптическими функциями, если положить

и откуда следует, что изменяется от —К до К, где К — полный эллиптический интеграл первого рода. Тогда все движение выразится через параметр о с помощью формул

где декартовы координаты частицы в момент времени относительно первоначального невозмущенного положения.

Эти уравнения дают нам возможность построить траектории и вычислить величину дрейфа

Некоторые из этих траекторий показаны на рис. 164, взятом из статьи Дарвина. Начало отсчета времени соответствует моменту положения цилиндра в начале координат. Цифры на кривых отмечают выбранные в подходящем масштабе моменты времени, в которые частицы находились в данных положениях. Так, например, точка на кривой, отмеченная цифрой 2, дает положение жидкой частицы, когда цилиндр продвинулся вперед на 2 радиуса от начального положения. Для рассматриваемых частиц жидкости штриховая кривая в левой части рисунка показывает начальные положения частиц, когда цилиндр находился в — со, а штриховая кривая в правой части — конечные положения частиц, когда цилиндр ушел в

Рис. 164.

Таким образом, в самом деле существует дрейф жидкости слева направо. Масса жидкости между начальным и конечным положением частиц (берется слой жидкости единичной толщины) может быть названа дрейф-массой и вычислена по формуле

Непосредственным интегрированием можно показать, что т. е. массе жидкости, вытесненной цилиндром.