12.32. Истечение из отверстия.

Эта задача была рассмотрена в п. 11.53.

Линия служащая осью симметрии струи, является линией тока; поэтому достаточно рассмотреть половину течения, показанную на рис. 220.

Рис. 220.

Отображением относительно свободной линии тока этой части течения яяляетгя область, положен на выше свободной линии тока

ограниченная ею и изображениями линий и Отображением точки отрыва А является совпадающая с ней точка поэтому отображением линии служит конечный прямолинейный отрезок совпадающий по направлению с линией

Рис. 221.

При этом в точке В помещается источник с такой же мощностью, как источник в точке т. е. соответствующей потоку, вытекающему из рассматриваемой половины отверстия. Изображением границы является параллельная ей прямая

Так как скорость течения в бесконечной части струи равна по величине скорости на свободной линии тока, то толщина струи в бесконечности сохраняется при отображении. Таким образом, не производя вычислений, мы видим, что коэффициент сжатия струи превосходит 0,5. Следовательно, интуитивно течение можно рассматривать как течение жидкости между стенками свободная линия тока образуется при столкновении потоков, вытекающих из источника в бесконечно удаленной точке и из равного по мощности источника в точке В.

Рис. 222.

Положение отображенной точки В не является произвольным. Оно полностью определяется условием симметрии в плоскости (рис. 221); в этой плоскости линия является зеркальным отражением линии относительно действительной оси при этом точка А соответствует точке отрыва потока.

Попытаемся теперь получить аналитические выражения для рассматриваемого течения. Отобразим область течения на верхнюю полуплоскость как показано на рис. 222.

Преобразование Шварца — Кристоффеля дает

здесь константы, подлежащие определению. Отсюда путем деления находим

и поэтому так как при

Сделав в предыдущих формулах подстановку и выполнив интегрирование, получим

здесь константы.

Соответствующая область в комплексной плоскости К изображена на рис. 223.

Все константы можно определить, устанавливая взаимосвязь между точками, соответствующими точкам в разных плоскостях.

Если ширина отверстия, то мы получим

отсюда, учитывая равенство получаем

Для определения положения точки В положим тогда для получим значение

Ширина струи в бесконечности равна половине модуля этой величины,

т. е. отсюда коэффициент сжатия равняется

Для получения уравнения свободных линий тока в выражении для полагаем Тогда