2.62. Теорема Грина.

Из формулы (VI) п. 2.34 для произвольного вектора а можно получить равенство

Таким образом, из соотношения (1) п. 2.61 мы получаем равенство

Подставляя сюда вместо вектора а вектор где некоторая скалярная функция, и замечая, что мы приходим к следующему соотношению:

Второе равенство следует из того, что выражение в левой части не изменится, если скаляры поменять местами. Равенство (1) представляет собой содержание теоремы Грина, или первое тождество Грина.

Непосредственным следствием теоремы Грина является второе тождество рина

Положим в равенстве Тогда

Определение. Любое решение уравнения Лапласа

называется гармонической функцией.

Если гармоническая функция, то из формулы (1) следует равенство

Положим в этом равенстве Тогда

Если гармонические функции, то из формулы (2) получаем равенство

В теореме Грина функции должны быть однозначными, т. е. каждой точке области V должно соответствовать только одно значение функции и одно значение функции . В наших приложениях эти функции обычно будут выражать потенциалы скорости, и требуемое условие будет выполнено, если область течения односвязна). Если же функции являются потенциалами скоростей в многосвязной области течения, то условие однозначности может быть нарушено вследствие существования циркуляций. При наличии циркуляции формулировка теоремы Грина должна быть изменена.

Предположим, например, что область двусвязна и что на перегородке В, которая делает область односвязной, существует постоянный скачок функций равный соответственно . Эти величины называются

циклическими постоянными перегородки. Следовательно, имеют место следующие равенства:

Тогда из предыдущих рассуждений следуют равенства

Крайнее правое равенство получено с использованием формулы (4), где заменено на Эта замена законна, так как при этом выражение в левой части не изменяется.

Формула (8) выражает содержание теоремы Грина для двусвязной области. Для -связной области в правую часть формулы (8) следует добавить интегралы по всем остальным перегородкам. Например, если то формула примет следующий вид: