10.32. Отображение бесконечной полосы.

Возьмем бесконечную полосу ширины а и предположим, что точки , рассматриваемые как совпадающие, переходят при отображении в точку Предположим также, что начало координат О переходит в точку а точка переходит в точку (рис. 179). Тогда точка будет, очевидно, соответствовать точке

Угол в вершине равен нулю, и поэтому получим

Возьмем оси координат, как показано на рис. 179. Определим логарифм так, чтобы величина обращалась в нуль при Тогда получим

Таким образом, имеем Поэтому

Соответствующие линии на обеих плоскостях показаны на рис. Прямые преобразуются в окружности линии переходят в лучи выходящие из начала координат плоскости Если точки переходят в точку то преобразование принимает вид

В некоторых случаях удобно располагать начало координат плоскости в точке на средней линии полосы.

Рис. 179.

Соответствующее преобразование получается заменой величины на величину в формуле (1), так что в этом случае получим формулу