19.42. Установившееся вращательное движение.

Рассмотрим двумерное движение, представляющее собой вращение относительно оси х с угловой скоростью которая является функцией только расстояний от оси вращения. Очевидно, что в этом случае скорость имеет единственную составляющую , перпендикулярную к радиусу-вектору. Следовательно, все составляющие вязкого напряжения, рассмотренные в п. 19.41, кроме составляющей обращаются в нуль, а эта последняя равна

Поэтому момент относительно оси вращения силы вязкого сопротивления, действующей на круговой цилиндрической поверхности радиуса и отнесенной к единице длины, будет равен

Если движение является установившимся, то момент количества движения жидкости, заключенной между двумя такими цилиндрическими поверхностями с осью не будет меняться во времени. Поэтому приведенная выше величина момента будет одинаковой (но противоположной по знаку) для рассматриваемых внутренней и внешней цилиндрических поверхностей. Таким образом,

где А не зависит от . Следовательно,

Если жидкость ограничена изнутри цилиндрической поверхностью радиуса а, вращающейся с угловой скоростью а снаружи концентрическим цилиндром радиуса вращающимся с угловой скоростью то мы должны иметь

и поэтому

В этих рассуждениях не накладывается ограничения, что имеют один и тот же знак. Если положить причем имеют одинаковый знак, то угловая скорость будет обращаться в нуль, когда

Жидкость, расположенная по разные стороны определенной таким образом «заторможенной» цилиндрической поверхности, будет вращаться в противоположных направлениях.

Далее, если в формуле (1) положить и то получим что дает распределение скорости в том случае, когда жидкость ограничена только изнутри. Если же жидкость ограничена только снаружи (но не изнутри), то следовательно, Тогда вся система при установившемся движении будет вращаться как твердое тело.

Если внутренняя цилиндрическая поверхность покоится, то

Это установившееся движение, как показал Тейлор, будет устойчивым для всех значений Пара сил, обусловленная трением и действующая на внешней цилиндрической оболочке, будет в этом случае равна

Тейлор показал также, что если внешняя цилиндрическая поверхность неподвижна, а внутренняя вращается, то движение будет устойчивым только при достаточно малых угловых скоростях внутренней цилиндрической поверхности.

В более поздней статье Тейлор показал, что если внутренняя цилиндрическая поверхность покоится, то движение хотя и остается устойчивым в указанном выше смысле, но при достаточно большой скорости может наступить турбулентное движение.