Глава 15. ФУНКЦИЯ ТОКА СТОКСА

15.00. Осесимметричные движения.

В предыдущих главах мы могли рассматривать двумерные движения с помощью комплексного переменного и комплексного потенциала. При рассмотрении трехмерного движения мы уже не можем пользоваться комплексным потенциалом. Простейшим примером трехмерного движения является движение, одинаковое в каждой плоскости, проходящей через некоторую прямую, называемую осью. Такое движение, например, имеет место, когда твердое тело вращения движется в направлении своей оси вращения в покоящейся жидкости.

Движение такого вида, называемое осесимметричным, в некотором отношении аналогично двумерному движению; в частности, для движения можно определить функцию тока. Если движение безвихревое, то потенциал скорости также всегда существует.

В качестве оси х возьмем ось симметрии. Движение в этом случае удобнее рассматривать в сферических координатах или в цилиндрических (рис. 43, 44).

15.10. Функция тока Стокса.

Рассмотрим фиксированную точку А на оси симметрии и произвольную точку Соединим точки кривыми лежащими в одной плоскости (проходящей через ось) которую для удобства назовем меридиональной плоскостью (рис. 286). Положение точки в этой плоскости может быть определено цилиндрическими координатами Если мы будем поворачивать меридиональные кривые относительно оси симметрии, то получится замкнутая поверхность, в которую справа налево через поверхность, образованную линией втекает такое же количество жидкости, которое вытекает в течение того же промежутка времени через поверхность, образованную линией Предполагается, что жидкость не создается и не уничтожается внутри поверхности.

Рис. 286.

Если обозначает поток через одну из этих поверхностей, то функция называется функцией тока Стокса. Если мы сохраним линию неподвижной, а линию заменим другой меридиональной кривой, соединяющей точки то очевидно, что величина не изменится. Следовательно, функция тока зависит от положения точки возможно, от положения фиксированной точки А. Если мы возьмем другую фиксированную точку В на оси и проведем кривую то поток через поверхность, образованную линией будет равен потоку через поверхность, образованную линией так как вследствие симметрии поток через А В отсутствует. Отсюда следует, что величина не зависит от выбора фиксированной точки при условии, что эта точка лежит на оси симметрии. Поэтому величина функции тока в точке зависит только от положения точки и если точка лежит на оси, то

Если через обозначить значения функции тока в точках то поток справа налево через поверхность, образованную вращением относительно оси какой-либо линии, соединяющей точки равен Если считать, что точки находятся на бесконечно малом расстоянии друг от друга, то нормальная скорость справа налево через определяется из формулы

отсюда, переходя к пределу, получим

Как частное применение этого важного результата, полагая по очереди равным получим равенства

выражающие компоненты скорости в цилиндрической и сферической системах координат (рис. 288).

Рис. 287.

Рис. 288.

Компоненты скорости, перпендикулярные меридиональной плоскости, в таком течении отсутствуют. Линии тока задаются уравнением

так как через такие линии течение отсутствует. Величина имеет размерность а потенциал скоростей размерность

Следует заметить, что функция тока существует в силу неразрывности движения и, следовательно, уравнение неразрывности автоматически удовлетворяется. Заметим также, что из вышеуказанных значений компонент скорости можно получить соотношение

которое является другой формой уравнения неразрывности.

Функция тока была определена относительно основной точки на оси. Смещение основной точки изменит значение только на постоянную величину (см. п. 4.30). Поскольку используются только разности и производные от функции то удобно рассматривать как функцию, содержащую аддитивную произвольную постоянную.

15.20. Простой источник.

Простым источником называется точка, из котопой жидкость вытекает по папиусам во все стопоны. Если источник

выделяет в единицу времени объем жидкости, равный то называется мощностью источника.

Стоком называется точка, в которую жидкость втекает по радиусам. Если в начале координат имеется источник мощности то направленный наружу поток через сферу радиуса центр которой находится в источнике, связан с радиальной скоростью формулой (рис. 289). Таким образом, имеем

откуда получаем

Функцию тока можно получить также, непосредственно рассматривая поток через сферическое тело, пересекаемое плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной оси

Рис. 289.

Рис. 290.

Если источник находится не в начале координат, а в точке А, то мы получим (рис. 290)

Переходя к координатам х и со, получаем

Заметим, что эти функции содержат х и с только в виде разности Отсюда

Отображением источника относительно плоскости является равный по мощности источник, получающийся оптическим отражением исходного источника относительно плоскости (см. п. 8.40).