11.51. Плоская форма насадка Борда.

Насадок Борда состоит из длинной прямолинейной трубки, вдающейся внутрь большого сосуда.

Если пренебречь силой тяжести, то отношение площади сечения текущей воды в самом сжатом месте к площади сечения трубки равно Следовательно, насадок Борда плоской формы состоит из длинного канала, параллельные стороны которого вдаются внутрь сосуда. Будем считать канал настолько длинным, что стенки сосуда не оказывают влияния на поток жидкости; фактически мы рассматриваем бесконечно длинный канал.

На диаграмме в плоскости (рис. 200) показано сечение насадка, имеющего стенки Стенка частично является линией тока. Жидкость течет вдоль линии поворачивается в точке В и вытекает из трубки вдоль

линии . В заштрихованной области между линиями и находится неподвижная жидкость или совсем нет жидкости. Линии, соответствующие омываемым стенкам в плоскости отмечены на всех диаграммах специальной штриховкой.

В сечении имеется равномерный параллельный поток, текущий, допустим, со скоростью Пусть ширина насадка в сечении равна 2а.

Рис. 200.

Если а — коэффициент сжатия, то ширина вытекающей струи равна поток, вытекающий из насадка, равен

Центральная линия тока является прямой линией. Если на мы возьмем то на линии тока будем иметь и на линии тока будем иметь

Пусть в точках Это всегда возможно, так как потенциал скорости определен с точностью до аддитивной постоянной. Тогда в точках и во всех точках сосуда на большом расстоянии от получим в то время как в точках получим Таким образом, плоскость имеет вид, изображенный на рис. 200.

Отобразим внутреннюю область многоугольника плоскости на верхнюю половину плоскости Причем точкам соответствуют точки а точкам которые совпадают в бесконечности, соответствует точка Тогда из формулы (2) п. 10.32 получим

при этом предполагается, что при логарифм обращается в нуль.

Следующий шаг состоит в том, чтобы построить многоугольник, соответствующий формуле

когда точка описывает границу в плоскости Далее следует отобразить этот многоугольник на плоскость

Для того чтобы проследить изменение угла , когда точка описывает границу, изобразим диаграмму на вспомогательной плоскости, задаваемой формулой

На свободной линии тока следовательно,

Таким образом, когда мы движемся вдоль линии комплексная величина описывает окружность единичного радиуса. Вдоль линии мы имеем на той же линии величина увеличивается от в точке в точке В. Следовательно, величина уменьшается от в точке до единицы в точке В.

Соответствующая диаграмма изображена на рис. 200. Линии в действительности совпадают, но для ясности они изображены в виде двойных линий. Теперь оказывается, что вдоль линии следовательно,

Соответствующая диаграмма в плоскости изображена на том же рисунке.

Отобразим многоугольник, расположенный на плоскости с помощью формулы п. 10.31, которая дает

так что

Формулы (1) и (3) дают решение рассматриваемой задачи. Мы можем исключить величину из этих формул, а потом с помощью интегрирования получить соотношение между величинами Представляет интерес определить вид свободных линий тока, что будет сделано в следующем пункте.

Относительно вышеуказанного решения следует заметить, что в соответствующем потоке нет точек, в которых скорость становилась бы бесконечной. Жидкость обтекает углы в точках с конечной скоростью; получаемое решение оказывается физически приемлемым.

В реальной жидкости застойная область обычно заполнена жидкостью, имеющей вихревое движение. Следовательно, вышеуказанное исследование можно рассматривать только как первое приближение. С другой стороны, полученное решение дает представление о вытекающей струе, если область вне свободной линии тока заполнена воздухом или водяным паром.