Глава 16. СФЕРЫ И ЭЛЛИПСОИДЫ

16.00. Исследование безвихревого движения жидкости в пространстве в случае, когда симметрия относительно оси не имеет больше места, сводится к определению потенциала скорости, удовлетворяющего заданным краевым условиям.

Уравнение неразрывности при этом должно удовлетворяться независимо от краевых условий, иначе говоря, потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа Функции, являющиеся решениями этого уравнения, называют гармоническими функциями, для этих функций имеется обширная литература, которую здесь невозможно даже перечислить. Мы рассмотрим здесь некоторые специальные типы решения уравнения Лапласа, которые будут непосредственно применимы к исследованию движения двух сфер и эллипсоида.

16.10. Сферические гармонические функции.

Уравнение Лапласа в декартовых координатах имеет вид

Любое однородное решение этого уравнения представляет собой функцию, которая называется сферической гармонической функцией.

Рис. 309.

Очевидными примерами таких решений являются функции Если есть некоторая гармоническая функция, такая, что где однородные функции от х, у, z разных степеней тип соответственно, то очевидно, что также являются сферическими гармоническими функциями, поскольку в результате применения к этим функциям оператора получаются также однородные функции разных степеней, и, следо вательно, они не могут взаимно уничтожиться при сложении.

Уравнение Лапласа в полярных координатах согласно п. 2.72, принимает вид

Потенциал скорости простого источника представляет собой сферическую гармоническую функцию, как в этом можно непосредственно убедиться подстановкой в уравнение (2). Если источник расположен в некоторой точке А на оси х на расстоянии с от начала координат (рис. 309), томы имеем где Эта функция, являясь потенциалом скорости, должна удовлетворять уравнению Лапласа, как это было установлено в п. 15.20 при рассмотрении уравнения неразрывности. Теперь имеем

Если то Имеет место следующее разложение:

где коэффициенты не зависят от k. Положим тогда если то

а если , то

Поскольку в этих разложениях члены, содержащие однородны, но имеют разные степени, то, как было отмечено выше, каждый из этих членов представляет собой сферическую гармоническую функцию. Таким образом, мы имеем две последовательности сферических гармонических функций (постоянная с при этом опущена):

каждая из которых тождественно удовлетворяет уравнению Лапласа. С помощью разложения для бинома легко доказать, что

и т. д. Функции называются функциями Лежандра, или зональными гармоническими функциями (первого рода). Эти функции встречаются в задачах со сферическими границами. Таким образом, для течения около сферы имеем

В это соотношение входят две сферические гармонические функции, которые выражаются через зональную гармоническую функцию

В случае диполя мощности находящегося в точке А, согласно п. 15.26 имеем

Тогда, если то

если

Эти соотношения дают потенциал скорости диполя в зависимости от зональных гармонических функций.

Можно сделать следующие дополнительные замечания. Если сферическая гармоническая функция, то все ее частные производные любого порядка по х, у, z также являются гармоническими функциями. Например, является сферической гармонической функцией, как в этом легко убедиться с помощью подстановки в уравнение (1). Так как представляет собой сферическую гармоническую функцию, то по указанному свойству мы получим также следующие гармонические функции: