2.32. Некоторые дифференциальные операции над одним вектором или скаляром.

Если является скаляром, то

Оператор называется оператором Лапласа.

Из формулы (1) п. 2.13 следует соотношение

Учитывая результаты п. 2.12, легко получить равенство используя его, вывести соотношение

Очевидно, что имеет место тождество

Используя свойства тройного векторного произведения, получаем формулу

Таким образом,

Все эти соотношения можно доказать непосредственной проверкой. Например, для доказательства равенства (II) запишем, используя обычные обозначения:

При этом мы использовали правило цикличности в тройном скалярном произведении и предположили, что порядок интегрирования может быть изменен. Таким образом,

или

Аналогичным образом доказывается равенство (V):

Эти примеры доказательств показывают, что правила обращения с оператором V в конечном счете основываются на соответствующих правилах обращения с вектором